toán[8] CM bất đẳng thức

E

eye_smile

$\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{\dfrac{1}{3}(a+b+c)^2}=3$
 
R

riverflowsinyou1

maytrang154 said:
Cho a;b;c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

Chứng minh rằng: [TEX]\frac{a}{b+c-a}[/TEX][TEX]{+}[/TEX][TEX]\frac{b}{a+c-b}[/TEX] [TEX]{+}[/TEX][TEX]\frac{c}{a+b-c}[/TEX]\geq[TEX]{3}[/TEX]

Cảm ơn các bạn.:)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

BĐT cần chứng minh :
$\sum a.(a+c-b).(a+b-c) \ge 3.(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)$
Xét hiệu $\sum a.(a+c-b).(a+b-c)-3.(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) =c^3+a^3+b^3+ab.(a+b-c)+bc.(b+c-a)+ca(c+a-b) \ge 0$
Vậy bđt đã được chứng minh.
 
M

manhnguyen0164

Đặt $x=b+c-a$; $y=a+c-b$; $z=a+b-c$ thì $2a=y+z$; $2b=x+z$; $2c=x+y$.

Ta có:

$2(\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c})$

$=\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}$

$=(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})+(\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y})+(\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x})$

$\ge 2+2+2=6$

Do đó $\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge3$ (đpcm)
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom