[Toán 8]Chuyên đề số nguyên tố nè!! Siêu ...!!!:cool:

[quanmai1271997]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x,y) sao cho [TEX]\frac{x2+y2}{x-y}[/TEX] là số nguyên dương và là ước số của 1995.
2. Tìm số nhỏ nhất trong tập hợp các số chính phương dạng 15a + 16b và 16a - 15b với a, b là các số nguyên dương nào đó.
3 Tìm 3 số nguyên tố biết rằng một trong ba số đó bằng hiệu các lập phương của hai số kia.
Chỉ 3 bài thui anh em cố làm hết na.
Hay thì thanks mình cái

Chú ý latex

 

[hoa_giot_tuyet]

13 Tìm 3 số nguyên tố biết rằng một trong ba số đó bằng hiệu các lập phương của hai số kia.
Chỉ 3 bài thui anh em cố làm hết na.

Chú ý latex

Giải tạm 1 bài lấy hên )

Gọi 3 số nguyên tố đó là a,b,c và ta có [TEX]a = b^3-c^3[/TEX]

\Rightarrow [TEX]a = (b-c)(b^2+bc+c^2)[/TEX]

Vì a nguyên tố nên hoặc b - c = 1 (1) hoặc [TEX]b^2+bc+c^2 = 1[/TEX] (2)

Dễ chứng minh (2) k xảy ra \Rightarrow b,c là 2 số tự nhiên liên tiếp \Rightarrow b = 3, c=2

\Rightarrow a = 19

 

[quanmai1271997]

Đặt 15a + 16b = [TEX]{m}^{2}[/TEX]: 16a - 15b = [TEX]{n}^{2}[/TEX] (1)(m,n[TEX]\epsilon[/TEX] N*)
Ta có:[TEX]{m}^{4}[/TEX] + [TEX]{n}^{4}[/TEX] = [TEX]{(15a + 16b)}^{2}[/TEX] + [TEX]{(16b - 15a)}^{2}[/TEX] = ([TEX]{15}^{2}[/TEX] + [TEX]{16}^{2}[/TEX])([TEX]{a}^{2}[/TEX] + [TEX]{b}^{2}[/TEX]) = 481([TEX]{a}^{2}[/TEX] + [TEX]{b}^{2}[/TEX]) + 13.37({[TEX]a}^{2}[/TEX] + [TEX]{b}^{2}[/TEX]) (2)
Ta thấy 13 và 37 là số nguyên tố > 2 [TEX]\Rightarrow[/TEX] đều có dạng 4k + 1 (với k lẻ)
Giả sử (m,n)=d [TEX]\Rightarrow[/TEX] m=dp, n=dq (với (p,q)=1)
(2) [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX]{d}^{4}({p}^{4} + {q}^{4})[/TEX] = [TEX]481({a}^{2} + {b}^{2})[/TEX] (3)
Vì (p,q) = 1 [TEX]\Rightarrow[/TEX] [TEX]{p}^{4} + {q}^{4} \neq [/TEX] 13; 37 [TEX]\Rightarrow[/TEX] d [TEX]\epsilon [/TEX] Ư(481) [TEX]\Rightarrow[/TEX] d= 481t
m; n nhỏ nhất [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] t=1
[TEX]\Rightarrow[/TEX] (3) [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX]{481}^{3}({p}^{3} + {q}^{4}) = {a}^{2} + {b}^{2}[/TEX] (4)
Từ (1) có [TEX]{m}^{2} - {n}^{2} = 31a - b[/TEX] hay [TEX]{481}^{3}({p}^{2} - {q}^{2}) = 31a - b[/TEX] (5) ( hơi tắt chút tự hiểu nha )
p=q=1 thì m, n nhỏ nhất.
Lúc đó a=31b và [TEX]{a}^{2} + {b}^{2} = {481}^{3} . 2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] b=481 và a = 31.481 [TEX]\Rightarrow[/TEX] m=n=481
Vậy số nhỏ nhất trong tập hợp các số chính phương dạng ............ là .............. ( Tự kết luận nốt nhá ).
Lời giải còn vài chỗ hơi tắt. Mong các bạn tự hiểu giùm.
Đọc thấy được thì thanks nha

 

[binh63]

Lâu lắm mới quay lại hocmai.vn thay đổi nhiều quá
Bài 1 không phù hợp với lớp 8 lắm đâu nhé, thực ra bài đó chỉ là biến đổi về phương trình bậc 2 là [TEX]x^2+y^2-kx+ky=0[/TEX] với k là ước của 1995
Sau đó quy về phương trình bậc hai có thể dùng delta hoặc chặn cũng được

Chú ý bài này còn một kiểu hỏi khác là [TEX]\frac{x^2+y^2}{x-y} \vdots 1995[/TEX]

 

[harrypham]

Lâu lắm mới quay lại hocmai.vn thay đổi nhiều quá
Bài 1 không phù hợp với lớp 8 lắm đâu nhé, thực ra bài đó chỉ là biến đổi về phương trình bậc 2 là [TEX]x^2+y^2-kx+ky=0[/TEX] với k là ước của 1995
Sau đó quy về phương trình bậc hai có thể dùng delta hoặc chặn cũng được

Chú ý bài này còn một kiểu hỏi khác là [TEX]\frac{x^2+y^2}{x-y} \vdots 1995[/TEX]

Ta nghĩ ngay đến việc áp dụng bài toán phụ sau:

Nếu $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$. Thì nếu $x^2+y^2$ chia hết cho $p$ thì $x,y$ chia hết cho $p$.