[ Toán 8] Chuyên đề bất phương trinh (tiếp)

[kimanh1501.hy@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b,c > 0

1 [TEX]\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2} \geq \frac{a}{b} +\frac{b}{a}[/TEX]
2 [TEX]\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq a+b+c[/TEX]

Chú ý Latex

 

[naruto2001]

Cho a, b,c > 0


1/ [TEX]\frac{a^2}{b^2}[/TEX] + [TEX]\frac{b^2}{a^2}[/TEX] +\geq [TEX]\frac{a}{b}[/TEX] + [TEX] \frac{b}{a}[/TEX]
2/ [TEX]\frac{a^2}{b}[/TEX] + [TEX]\frac{b^2}{c}[/TEX] + [TEX]\frac{c^2}{a}[/TEX] \geq a+b+c

 

[naruto2001]

[TEX]\frac{a^2}{b+c}[/TEX]+[TEX]\frac{b+c}{2}[/TEX]\geq a(bat dang thuc co si)
[TEX]\frac{b^2}{a+c}[/TEX]+[TEX]\frac{a+c}{2}[/TEX]\geq b(bat dang thuc co si)
[TEX]\frac{c^2}a+b}[/TEX]+[TEX]\frac{a+b}{2}[/TEX]\geq c(bat dang thuc co si)
cong tung ve ba bat phuong trinh tren ta co :[TEX]\frac{a^2}{b+c}[/TEX]+[TEX]\frac{b+c}{2}[/TEX]+[TEX]\frac{b^2}{a+c}[/TEX]+[TEX]\frac{a+c}{2}[/TEX]+[TEX]\frac{c^2}{b+a}[/TEX]+[TEX]\frac{a+b}{2}[/TEX] \geq a+b+c

 

[i_am_a_ghost]

Cho a, b,c > 0


2 $\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a}$ \geq $a+b+c$

Ta có:$ \frac{a^2}{b}+b$\geq $2a $(Cauchy).
$\frac{b^2}{c}+c$\geq $2b$ (Cauchy).
$\frac{c^2}{a}+a$\geq $2c $(Cauchy).
\Rightarrow$ a+b+c+\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$ \geq $2(a+b+c).$
Vậy ta suy ra đpcm.

 

[chaudoublelift]

Giải

Đề: Cho a,b,c>0. CMR: a) $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}≥\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$
b)CMR: $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}≥a+b+c$
Giải:
CM BĐT phụ: $\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}≥\dfrac{(a+b)^2}{x+y}(*)$( với $a,b,x,y \in R;x,y>0$)
Thật vậy, ta có:
$\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}≥\dfrac{(a+b)^2}{x+y}⇔\dfrac{a^2y+b^2x}{xy}≥\dfrac{a^2+2ab+b^2}{x+y}⇔a^2xy+b^2xy+a^2y^2+b^2x^2≥a^2xy+2abxy+b^2xy$
$⇔a^2y^2+b^2x^2-2abxy≥0⇔(ay-bx)^2≥0$(BĐT đúng)
a)Áp dụng BĐT (*) vào $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}≥\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$, ta được:
$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}≥\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}⇔\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2} ≥\dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2}$
Mặt khác, $\dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2}=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{a^2+b^2}(1)$
Xét $\dfrac{a^2+2ab+b^2}{a^2+b^2}≥ \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$
$⇔a^3b+2a^2b^2+ab^3≥a^4+b^4+2a^2b^2⇔a^3b+ab^3-a^{4}-b^{4}≥0$
$⇔a^{3}(b-a)+b^{3}(a-b)≥0⇔(a-b)(b^{3}-a^{3})≥0⇔(a-b)^2(b^2-ab+b^2)≥0(2)$(luôn đúng)(cái này bạn tự CM nhé)
Từ (1)(2) suy ra $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}≥\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$(đpcm)
b) Từ BĐT(*) suy ra:
$\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}≥\dfrac{(a+b)^2}{x+y}⇒\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}≥\dfrac{(a+b)^2}{x+y}+\dfrac{c^2}{z}≥\dfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}(**)$(cái này đơn giản chỉ là áp dụng BĐT(*) 2 lần)(với $c,z \in R, z>0$)
Áp dựng BĐT (**) cho $\dfrac{a^2}{b};\dfrac{b^2}{c};\dfrac{c^2}{a}$, ta được:
$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}≥ \dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c}$
Do a,b,c>0 suy ra $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}≥ \dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c$(đpcm)


P/s: BĐT mình vừa Cm là BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel, bạn có thể tham khảo thêm ở đây
http://www.academia.edu/8055225/BẤT_ĐẲNG_THỨC_CAUCHY_SCHAWRZ_DẠNG_ENGEL để xem các ứng dụng của nó, mặc dù người viết cho kiến thức THPT nhưng có một số bài là của THCS có thể giải được.
Nếu trong bài có sai sót thì thông cảm nhé.