[Toán 8]Chứng minh

[thetimeforus]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh $x^8-x^7+x^5-x^3+1>0$
-----------------------------------------------------------------

Chú ý Tiêu đề, Latex

 

[vanmanh2001]

$A = x^3 ( x^5 - x^4 + x^2 - 1)$
$= x^3 (x-1)(x^4 + x^2) + 1$
Ta có $x^4 + x^2 \geq 0 $
TH1 với $x^3 \geq 1 $
Dễ thấy $A > 0$
TH2 với $x^3 < 0$
Được $A > 0$
Với $0 \leq x \leq 1$
$\Rightarrow -1 \leq x-1 \leq 0$
$\Rightarrow Min A$ với $x = 0$
Thay vào được Min $A = 1 > 0 $
Vậy với mọi x Ta được $A > 0$

 

[phamhuy20011801]

$A=x^8-x^7+x^5-x^3+1\\
=x^3(x^5-x^4+x^2-1)+1\\
=x^3(x-1)(x^4+x+1)+1$

Với $x \ge 1$ thì $A>0$
Với $x \le 0$ thì $x^3(x-1) \ge 0, x^4+x+1 \ge 0$ với mọi $x$ nên $A > 0$
Với $0 < x < 1$ thì $x^7(1-x)+x^3(1-x^2) \le (\dfrac{x^7+1-x}{2})^2 + (\dfrac{x^3+1-x^2}{2})^2 = (\dfrac{1-(x-x^7)}{2})^2 + (\dfrac{1-(x^3-x^5)}{2})^2 < \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4} < 1$ (*)
Nên $A = 1-(x^7-x^8+x^3-x^5) > 1-1 =0$

Vậy $A > 0$ với mọi $x$


(*) Bài toán phụ: $m(1-n) \le (\dfrac{m+1-n}{2})^2\\
\leftrightarrow 4m-4mn \le m^2+n^2+1^2+2m-2n-2mn\\
\leftrightarrow 0 \le m^2+2mn+n^2-2m-2n+1\\
\leftrightarrow 0 \le (m+n-1)^2$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng.