[Toán 8] Chứng minh

[pesungongao]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{a^3 + b^3}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^3[/TEX]
Giúp tớ nha cho tớ cám ơn trước :khi (14):

Chú ý Tiêu đề + Latex

 

[soccan]

ta được bđt tương đương
$4(a^3+b^3) \ge (a+b)^3 \longleftrightarrow a^3+b^3 \ge a^2b+ab^2$
bđt này đúng vì
$a^3+b^3-ab^2-a^2b \ge 0 \longleftrightarrow (a-b)^2(a+b) \ge 0$ đúng với mọi $a,b$ dương

 

[phamhuy20011801]

$\frac{a^3+b^3}{2}-(\frac{a+b}{2})^3=\frac{3a^2-3ab^2-3a^2b+3b^3}{8}=\frac{3}{8}(a+b)(a-b)^2 \ge 0$.
Vậy, $\frac{a^3+b^3}{2} \ge (\frac{a+b}{2})^3$.
Dấu = xảy ra \Leftrightarrow a=b.

 

[huynhbachkhoa23]

Bổ đề. Với mọi $a,b,c\ge 0$ thì $a^3+b^3+c^3\ge 3abc$
Áp dụng bổ đề trên, ta có:
$a^3+\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3+\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3\ge \dfrac{3}{4}a(a+b)^2$
$a^3+\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3+\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3\ge \dfrac{3}{4}b(a+b)^2$
Cộng lại cho ta điều phải chứng minh.