[Toán 8] Chứng minh

[pesungongao]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c,d là các số nguyên dương đôi một khác nhau thỏa mãn: $\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+d} + \frac{d}{d+a} = 2$
Giúp tớ với nha cho tớ cảm ơn trước, giúp mình với :khi (165):

Chú ý Tiêu đề + Latex

 

[quynhphamdq]

Ta có:
[TEX]\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{d+c}+\frac{d}{a+d}=2[/TEX]
\Rightarrow [TEX](\frac{a}{a+b} +\frac{c}{d+c} -1)+(\frac{b}{b+c} +\frac{d}{a+d} -1)=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\frac{ac-bd}{(a+b)(c+d)} -\frac{ ca-bd}{(b+c)(d+a)}=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](ac-bd).(\frac{1}{(a+b)(c+d)} - \frac{1}{(a+d)(b+c)})=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](ac-bd).\frac{ab+ac+bd+dc-ac-ad-bc-bd}{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](ac-bd).(ab+cd-ad-bc)=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](ac-bd)(a-c)(b-d)=0[/TEX]
vì a#b#c#d nên a-c#0, b-d#0 suy ra [TEX]ac-bd=0[/TEX]
\Rightarrow[TEX] ac=bd[/TEX]
\Rightarrow [TEX]abcd=(ac)^2[/TEX] là số chính phương (đc c/m)