[Toán 8] Chứng minh

[long09455]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a; b; c là độ dài các cạnh của tam giác
Chứng minh : [TEX]a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq0[/TEX]

 

[congchuaanhsang]

IMO 1983

Cho a; b; c là độ dài các cạnh của tam giác
Chứng minh : [TEX]a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq0[/TEX]

Đặt $2x=b+c-a$ ; $2y=a+c-b$ ; $2z=a+b-c$

Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác nên $z,y,z$ > 0

\Rightarrow $a=y+z$ ; $b=x+z$ ; $c=x+y$

BĐT tương đương

$xyz(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}-x-y-z)$ \geq 0

\Leftrightarrow $\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}$ \geq $x+y+z$ (1)

Mà theoo Cauchy-Schwarz:

$VT$ (1) \geq $\dfrac{(x+y+z)^2}{x+y+z}=x+y+z=VP$(1)

\Rightarrow (1) luôn đúng

Vậy bđt được cm

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b=c$