[Toán 8] Chứng minh

[concacuoc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c,d là các số nguyên dương đôi 1 khác nhau thỏa mãn:
a/a+b + b/b+c + c/c+d + d/d+a =2. Chứng minh: rằng tích a.b.c.d là 1 số chính phương

 

[hoamattroi_3520725127]

Mình có cách này, tuy hơi dài chút

$a/a+b + b/b+c + c/c+d + d/d+a =2$

$\leftrightarrow a(b + c)(c + d)(a + d) + b(a + b)(c + d)(a + d) + c(a + b)(b + c)(a + d) + d(a + b)(b + c)(c + d) - 2(a + b)(b + c)(c + d)(d + a) = 0$

$\leftrightarrow ... \leftrightarrow (a - c)(b - d)(ac - bd) = 0$

Do a,b,c,d đôi một khác nhau nên $ac - bd = 0 \leftrightarrow ac = bd \leftrightarrow abcd = (ac)^2 (dpcm)$

 

[thaolovely1412]

tham khảo ở đây nhé bạn: https://www.google.com.vn/url?sa=t&...YSmT-dV1RO-Eq20zZHjhnqQ&bvm=bv.59378465,d.dGI

 

[hiendang241]

cách 2 ngắn hơn đây

a/a+b +b/b+c +c/a+d +d/d+a=2
suy ra (a/a+b +c/c+d -1)+(b/b+c +d/d+a -1)=0
=ac-bd/(a+b)(c+d) - ca-bd/(b+c)(d+a)=0
=(ac-bd).(1/(a+b)(c+d) - 1/(a+d)(b+c))=0
=(ac-bd).(ab+ac+bd+dc-ac-ad-bc-bd)/(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=0
=(ac-bd).(ab+cd-ad-bc)=0
=(ac-bd)(a-c)(b-d)
vì a#b#c#d nên a-c#0, b-d#0 suy ra ac-bd=0
suy ra ac-bd suyy ra ac.bd=(bd)^2