[Toán 8] chứng minh

[minhuyk6vd]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

LÀM GIÚP MINH VỚI CẢM ƠN NHIỀU NHIỀU !!!


1. Cho $0 < x, y, z$ \leq 1 . Chứng minh :
$\dfrac{x}{yz+1}+\dfrac{y}{xz+1}+\dfrac{z}{xy+1}$ hoặc = 2

2. Chứng minh với mọi x > căn 2 và y > căn 2 thì
$x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4 > x^2 + y^2$ .

3 Chứng minh $n^3 - n$ chia hết cho 24 với n lẽ.

THANKS

Chú ý tiêu đề + gõ latex
Không đặt các tiêu đề có biểu cảm (!!!, ???, @@@).

 

[thienvu_kute]

3 Chứng minh $n^3 - n$ chia hết cho 24 với n lẽ.

THANKS

Chú ý tiêu đề + gõ latex
Không đặt các tiêu đề có biểu cảm (!!!, ???, @@@).

Bài giải​

Ta có:
[TEX]n^3 - n = n.(n^2 - 1) = n.(n - 1).(n + 1) [/TEX]

[TEX]\Rightarrow n^3 - n[/TEX] [TEX]\vdots[/TEX] 3 (vì [TEX]n.(n - 1).(n + 1)[/TEX] [TEX]\vdots [/TEX]3) (1) (p/s:chắc m.n biết hết tính chất này rồi)

Vì n là số lẻ nên (n+1) và (n-1) là số chẵn.
Đặt n -1 = 2x (x thuộc N*)
\Rightarrow n + 1 = 2x + 2
Ta có: [TEX](n - 1).(n+1) = 2x.(2x+2) = 4x^2 + 4x = 4x.(x+1)[/TEX]

Vì [TEX]4[/TEX] [TEX]\vdots[/TEX] [TEX]4[/TEX]

[TEX]x.(x+1) [/TEX] [TEX]\vdots[/TEX] 2 (2 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2)

nên [TEX]4x.(x+1)[/TEX] [TEX]\vdots[/TEX] (4.2) = 8

Hay [TEX](n-1).(n+1)[/TEX] [TEX]\vdots[/TEX] 8

[TEX]\Rightarrow n.(n-1).(n+1)[/TEX] [TEX]\vdots[/TEX] 8 (2)

Từ (1) và (2) suy ra [TEX]n.(n-1).(n+1)[/TEX] [TEX]\vdots[/TEX] (3.8) = 24
Hay [TEX]n^3 - n[/TEX] [TEX]\vdots[/TEX] 24

Vậy [TEX]n^3 - n[/TEX] [TEX]\vdots[/TEX] 24 (đpcm)

p/s : dự là đề thi toán gì đó :-?

 

[thienvu_kute]

LÀM GIÚP MINH VỚI CẢM ƠN NHIỀU NHIỀU !!!

2. Chứng minh với mọi x > căn 2 và y > căn 2 thì
$x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4 > x^2 + y^2$ .


THANKS

Chú ý tiêu đề + gõ latex
Không đặt các tiêu đề có biểu cảm (!!!, ???, @@@).

Bài giải​

Ta có:
[TEX]x > \sqrt{2} [/TEX]
[TEX]y > \sqrt{2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]x.y > \sqrt{2}.sqrt{2} = 2[/TEX]

Ta có:
[TEX]x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4 > x^2 + y^2[/TEX]
[TEX]= (x^4 + y^4 + x^2y^2) - (xy^3 + x^3y)[/TEX]
[TEX]= (x^2+y^2)^2 - xy.(x^2 + y^2)[/TEX]
[TEX]= (x^2 + y^2).(x^2 + y^2 - xy)[/TEX]
[TEX]= (x^2 + y^2).(x^2 + y^2 - 2xy + xy)[/TEX]
[TEX]= (x^2 + y^2).[(x-y)^2 + xy][/TEX]

Vì [TEX](x-y)^2 \geq 0[/TEX] và xy > 2 nên [TEX](x - y)^2 + xy > 2[/TEX]

Do đó: [TEX](x^2 + y^2).[(x-y)^2 + xy][/TEX] > [TEX](x^2 + y^2)[/TEX] (đpcm)

 

[bubuchachaabc]

Bạn ơi sao lại:
[TEX]= (x^4 + y^4 + x^2y^2) - (xy^3 + x^3y)[/TEX]
[TEX]= (x^2+y^2)^2 - xy.(x^2 + y^2)[/TEX]