Toán 8: Chứng minh

E

embecuao

Tóm tắt đề bài theo cách khác:
Cho a+b+c chia hết cho 6. Chứng minh: [TEX] a^3 + b^3 + c^3 [/TEX] chia hết cho 6
Xét hiệu:
[TEX] (a^3 + b^3 + c^3) - (a + b +c)[/TEX]
= [TEX] (a^3 - a) + (b^3 - b) + c^3 -c) [/TEX]
= a(a-1)(a+1) + b(b-1)(b+1) + c(c-1)(c+1)
Do a, (a-1), (a+1) là 3 số nguyên liên tiếp [TEX]\Rightarrow[/TEX] a(a-1)(a+1) chia hết cho 6
Tương tự: b(b-1)(b+1) và c(c-1)(c+1) cũng chia hết cho 6
Ta có: a+b+c chia hết cho 6
[TEX] (a^3 + b^3 + c^3) - (a + b +c)[/TEX] chia hết cho 6
[TEX]\Rightarrow[/TEX] [TEX] (a^3 + b^3 + c^3) [/TEX] chia hết cho 6 (đpcm)
 
C

congchuaanhsang

Cách khác nè:
Gọi a,b,c là 3 số nguyên bất kì thỏa mãn a+b+c chia hết cho 6
\Rightarrowa+b+c chia hết cho cả 2 và 3
Ta sẽ cm $a^3$+$b^3$+$c^3$ chia hết cho 6
*Dễ dàng cm đk $x^3$ và x có cùng số dư khi chia cho 3
\Rightarrow$a^3$+$b^3$+$c^3$ có cùng số dư với a+b+c khi chia cho 3
\Rightarrow$a^3$+$b^3$+$c^3$ chia hết cho 3 (1)
*Vì a+b+c chia hết cho 2\Rightarrowa+b+c chẵn
\RightarrowTrong 4 số a,b,c chỉ có thể có 0 hoặc 2 số lẻ.
+Nếu cả 3 số a,b,c đếu chẵn\Rightarrow$a^3$+$b^3$+$c^3$ chẵn
+Nếu trong 3 số có 2 số lẻ
Ko làm mất tính tổng quát giả sử a và b lẻ, c chẵn
\Rightarrow$a^3$và $b^3$ lẻ\Rightarrow$a^3$+$b^3$ chẵn
\Rightarrow$a^3$+$b^3$+$c^3$ chẵn
\Rightarrow$a^3$+$b^3$+$c^3$ chia hết cho 2 (2)
Từ (1) và (2)\Rightarrow$a^3$+$b^3$+$c^3$ chia hết cho 6 (vì 2 và 3 nguyên tố cùng nhau)
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom