[Toán 8]Chứng minh

[thuthuatna]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

ai giải được là thiên tài
Cho tui hỏi cái
Bài 1 ) chứng minh rằng: [TEX]\frac{4}{(a+b)^3}+\frac{4}{(b+c)^3}+\frac{4}{(c+a)^3} \geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}[/TEX]
Bài 2) Giải phương trình nghiệm nguyên : [TEX]x^3+xy^2+x^2y+y^3=4(x^2+y^2+xy+3)[/TEX]
~~> Chú ý latex

 

[harrypham]

1.
Cách 1. Ta có pt tương đương với [TEX](x^{2}+y^{2})(x+y)=2(x^{2}+y^{2})+2(x+y)^{2}+12[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})(x+y-2)-2(x+y)^{2}+8=20[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x+y-2)(x^{2}+y^{2}-2x-2y-8)=20[/TEX]
Nhận xét x,y cùng tính chẵn lẻ nên xác định các ước chẵn của 20 để giải tiếp. (Mathscope)

Cách 2. Đặt [TEX]x+y=u, \ xy=v[/TEX]. Phương trình trở thành

[TEX]u(u^2-3v)+uv=4(u^2-v+3) \ \ \ \ \ \ (1)[/TEX]​

Nên [TEX]u^3-2uv=4u^2-4v+12[/TEX], vậy [TEX]u \vdots 2[/TEX], đặt [TEX]u=2t \ (t \in \mathbb{Z})[/TEX]. Thay vào (1) thì

[TEX]v(t-1)=2t^3-4t^2-3[/TEX]​

Và [TEX]v=2t^2-2(t+1)-\frac {5}{t-1}[/TEX], nên [TEX]t= \pm 1[/TEX] hay [TEX]t= \pm 5[/TEX]. Dễ dàng để giải tiếp.

Nhận xét. Có một bài tương tự sau: [TEX] x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 8(x^2 + xy + y^2 + 1)[/TEX]
Lời giải cho bài này như sau.
Đặt [TEX]s=x+y, \ p=xy[/TEX], pt trở thành

[TEX]2p(s-4)=s^3-8s^2+8[/TEX]​

Như vậy [TEX]s^3-4s^2-4(s^2-16)+56 \ \vdots s-4[/TEX], nên [TEX]56 \ \vdots s[/TEX], và s chẵn. Đến đây xét để tìm s rồi tìm x,y.


2. Với [tex]a=1, \ b=2, \ c=3[/tex] bất đẳng thức sai.