[Toán 8] Chứng minh $x^{2012}+\frac{1}{x^{2012}}$ thuộc Z.

[lananh_1998]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x+ \dfrac{1}{x}$ thuộc Z.Chứng minh $x^{2012}+\dfrac{1}{x^{2012}}$ thuộc Z.
@minhtuyb: Cần học gõ latex. Chính vì không học latex nên mới dẫn đến hiện tượng người khác hiểu nhầm đề của bạn như trên!

 

[hthtb22]

[tex]\frac{x+1}{x}[/tex] là số nguyên

\Leftrightarrow [tex]1+\frac{1}{x}[/tex] là số nguyên

\Leftrightarrow [tex]\frac{1}{x}[/tex] là số nguyên

\Leftrightarrow [tex]\frac{1}{x^{2012}}[/tex] là số nguyên

\Leftrightarrow [tex]1+\frac{1}{x^{2012}}[/tex] là số nguyên

\Leftrightarrow [tex]\frac{x^{2012}+1}{x^{2012}}[/tex] là số nguyên

 

[coganghoctapthatgioi]

Ta có:

[TEX]\frac{x+1}{x}[/TEX] nguyên

\Leftrightarrow 1+[TEX]\frac{1}{x}[/TEX] nguyên

\Leftrightarrow [TEX]\frac{1}{x}[/TEX] nguyên

Do [TEX]\frac{1}{x}[/TEX] nguyên nên [TEX](\frac{1}{x})^{2012}[/TEX] nguyên

\Rightarrow [TEX]\frac{1}{x^{2012}}[/TEX] nguyên (2)

Mà

[TEX]\frac{x^{2012}+1}{x^{2012}}[/TEX]= 1+[TEX]\frac{1}{x^{2012}}[/TEX] (1)

Từ (1) và (2)\Rightarrow [TEX]\frac{x^{2012}+1}{x^{2012}}[/TEX] nguyên

 

[minhtuyb]

*Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát sau:

Cho $x+ \dfrac{1}{x}$ thuộc Z.Chứng minh $S_n=x^n+\dfrac{1}{x^n}$ thuộc Z với $n$ là số nguyên dương không nhỏ hơn 2 (*)

+)B1: Với $n=2$ thì $S_2=x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2\in \mathbb{Z}$ do $x+ \dfrac{1}{x}$ nguyên (gt)
Mệnh đề (*) đúng với $n=2$
+)B2: Giả sử mệnh đề (*) đúng với $1,2,...,k-1$. Ta chứng minh (*) đúng với $n=k$. Thật vậy, ta có:
$$S_k=x^k+\frac{1}{x^k}=(x+\frac{1}{x})(x^{k-1}+\frac{1}{x^{k-1}})-(x^{k-2}+\frac{1}{x^{k-2}})=S_1.S_{k-1}-S_{k-2}\in \mathbb{Z}$$
do $S_1;S_{k-1};S_{k-2}\in \mathbb{Z}$ theo giả thiết quy nạp
+)B3: Theo nguyên lí quy nạp toán học thì mệnh đề (*) đúng với mọi $n$ nguyên dương không nhỏ hơn 2.
Bài toán là 1 trường hợp của (*) với $n=2012\square$