[toán 8] chứng minh trong tam giác

[minh1910]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC và trọng tâm G, trên BC lấy P ,wa P kẻ các đường song song với CG và BG cắt AB, AC tại E;F , EF cắt BG,CG tại I;J
a/ Chứng minh EI=IJ=JF
b/c/m PG đi wa trung đỉm EF
c/1 đường thẳng d nằm ngoài tam giác. C/m tổng khoảng cách từ 3 đỉnh của tam giác ABC đến đường thẳng d gấp 3 lần khoảng cách từ trọng tâm G đến đường thẳng d

 

[ronaldover7]

a/Kẻ BG,CG cắt AC,BC tại L,K
G trọng tâm \Rightarrow BG=2GL ,CG=2GK
Đặt T,N là giao điểm CG ,PF và BE,BG
PT//BG \Rightarrow $\frac{PT}{BG}$=$\frac{CT}{CG}$ (1)
TF//CG \Rightarrow $\frac{FT}{CG}$=$\frac{CT}{CG}$ (2)
(1)(2) \Rightarrow $\frac{PT}{BG}$= $\frac{FT}{CG}$
\Rightarrow $\frac{PT}{FT}$= $\frac{BG}{CG}$=$\frac{2}{1}$
CMTT ta có $\frac{PN}{EN}$= $\frac{2}{1}$
$\frac{PT}{FT}$= $\frac{PN}{EN}$=2
\Rightarrow TN//EF(dl talet đảo) \Rightarrow EF//IJ
\Rightarrow $\frac{IG}{IN}$= $\frac{JG}{JT}$ (3)
Ta có: GJ//EN \Rightarrow $\frac{IJ}{EI}$= $\frac{IG}{IN}$ (4)
GI//FT \Rightarrow $\frac{IJ}{JF}$= $\frac{JG}{JT}$ (5)
(3)(4)(5)\Rightarrow $\frac{IJ}{EI}$= $\frac{IJ}{JF}$
\Rightarrow IE=JF
Ta có:JT//EP \Rightarrow $\frac{FJ}{JE}$= $\frac{FT}{TP}$=$\frac{1}{2}$
\Rightarrow 2JF =EJ =EI+IF mà JF =EI \Rightarrow IJ=JF =EI​

 

[ronaldover7]

CM được NGTP là hbh \Rightarrow NT cắt GP tại trung điểm NT là O
Đặt OG cắt IJ tại M
Ta có IM //NO \Rightarrow $\frac{IM}{ON}$ = $\frac{GM}{GO}$
MJ//OT \Rightarrow \Rightarrow $\frac{MJ}{OT}$ = $\frac{GM}{GO}$
\Rightarrow \Rightarrow $\frac{IM}{ON}$ = $\frac{MJ}{OT}$
\Rightarrow IM=MJ (do trung điểm NT là O)
\Rightarrow M là trung điểm EJ
mà E,G,O thẳng hàng \Rightarrow PG đi wa trung đỉm EF​

 

[ronaldover7]

Để làm câu c ta phải cm bổ đề
GT :hình Thang ABCD có F trên BD sao cho 2BF=FD,E trên AC sao cho EF//CD//AB
KL:3EF=CD+2AB
Bài làm
Kẻ À cắt CD tại K
AB//DK \Rightarrow $\frac{AB}{DK}$= $\frac{1}{2}$ \Rightarrow 2AB=DK
Ta có EF // CK \Rightarrow $\frac{EF}{CK}$=$\frac{AE}{AC}$= $\frac{1}{3}$
\Rightarrow 3EF=CK=CD+DG=CD+2AB

Áp dụng với bài trên ta có:
Từ L là Trung điểm AC kẻ dường vuông góc với d
Ta dặt khoảng cách từ đỉnh C đến đường thẳng d là c
khoảng cách từ đỉnh B đến đường thẳng d là b
khoảng cách từ đỉnh A đến đường thẳng d là a
khoảng cách từ đỉnh L đến đường thẳng d là d
khoảng cách từ đỉnh G đến đường thẳng d là g
Áp dung ta có 3g=b+2d
ta lại có d= $\frac{a+c}{2}$ (dường trung bình trong hình thang )
\Rightarrow 3g=b+2d=b+2.$\frac{a+c}{2}$=a+b+c
\Rightarrow tổng khoảng cách từ 3 đỉnh của tam giác ABC đến đường thẳng d gấp 3 lần khoảng cách từ trọng tâm G đến đường thẳng d​