[Toán 8] Chứng minh tìm x,y giúp với

[c2nghiahoalgbg]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Tìm x,y nguyên không âm thoả mãn 1+x+$x^2+x^3=2^y$
2)Cho a,b,c,d,e>0 thoả mãn đk a+b+c+d+e=4.
Tìm GTNN của biểu thức P=$\frac{(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)}{abcde}$
(*)(*)(*)(*)(*)

 

[congchuaanhsang]

1, Phương trình đã cho ương đương với:
$(x+1)(x^2+1)=2^y$
Đặt x+1=$2^m$ (m$\in$N)\Rightarrow$x^2+1$=$2^{y-m}$
Khi đó: x=$2^m-1$ ; $x^2=2^{y-m}-1$
\Rightarrow$2^{2m}-2^{m+1}+1=2^{y-m}-1$
\Rightarrow$2^{y-m}-2^{2m}+2^{m+1}=2$
*m=0\Rightarrowx=y=0 là nghiệm của phương trình
*m>0\Rightarrow$2^{y-m-1}-2^{2m-1}+2^m=1$
mà $2^{2m-1}$ và $2^m$ chẵn\Rightarrow$2^{y-m-1}$ lẻ
\Rightarrowy-m-1=0\Rightarrowy=m+1
\Rightarrow$2^m-2^{2m-1}=0$\Leftrightarrowm=2m-1
\Leftrightarrowm=1\Rightarrowx=1 ; y=2

 

[congchuaanhsang]

2, Áp dụng BĐT Cauchy:

$(a+b+c+d+e)^2$\geq$4e(a+b+c+d)$

$(a+b+c+d)^2$\geq$4d(a+b+c)$

$(a+b+c)^2$\geq$4c(a+b)$

$(a+b)^2$\geq$4ab$

\Rightarrow$(a+b+c+d+e)^2(a+b+c+d)^2(a+b+c)^2(a+b)^2$

\geq256$abcde(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)$

\Leftrightarrow$(a+b+c+d+e)^2(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)$\geq$256abcde$

\Leftrightarrow$16(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)$\geq$256abcde$

\Leftrightarrow$\dfrac{(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)}{abcde}$\geq16