[Toán 8] Chứng minh rằng

[long09455]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Chứng minh biểu thức

[TEX]1\leq\frac{2(x^2+x+1)}{x^2+1}\leq3[/TEX]

2, Chứng minh các bất đẳng thức sau :

[TEX]a) a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\geq a(b+c+d+e)[/TEX]
[TEX]b) a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca[/TEX]

 

[thaolovely1412]

Bài 2
a)[TEX]a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 \geq a(b+c+d+e)[/TEX] (*)
\Leftrightarrow [TEX]4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2 \geq 4ab+4ac+4ad+4ae[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](a^2-4ab+4b^2)+(a^2-4ac+4c^2)+(a^2-4ad+4d^2)+(a^2-4ae+4e^2) \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](a-2b)^2+(a-2c)^2+(a-2d)^2+(a-2e)^2 \geq 0[/TEX] (1)
(1) luôn đúng \Rightarrow (*) luôn đúng
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]a=2b=2c=2d=2e[/TEX]

 

[thaolovely1412]

Bài 2
b) Bđt đã cho
\Leftrightarrow [TEX]2a^2+2b^2+2c^2 \geq 2ab+2bc+2ca[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2) \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2 \geq 0[/TEX] (1)
(1) luôn đúng \Rightarrow Bđt đã cho luôn đúng
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

 

[casidainganha]

bài 1

Ta có 2($x^2$+x+1)=$(x+1)^2$+$x^2$+1\geq $x^2$+1\Rightarrow$\frac{2(x^2+x+1)}{x^2+1}$\geq1
Xét 2($x^2$+x+1)\leq3($x^2$+1) (1)
\Leftrightarrow 3$x^2$ +3- $(x+1)^2$-$x^2$-1\geq0
\Leftrightarrow 2$x^2$+2-$x^2$-2x-1\geq0
\Leftrightarrow$x^2$-2x+1=$(x-1)^2$\geq0 (2)
Vì (2) luông đúng với \forallx nên (1) luôn đúng\Rightarrow
$\frac{2(x^2+x+1)}{x^2+1}$\leq3
nhớ thanks nếu thấy đúngb-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(

 

[huynhbachkhoa23]

Cách khác:
Bài 1:
$A=\frac{x^2+x+1}{x^2+1}$
$\leftrightarrow (A-1)x^2-x+(A-1)=0$
$\Delta = -4(A-1)+1=-4A^2+8A-3 \ge 0$
$\leftrightarrow \dfrac{1}{2} \le A \le \dfrac{3}{2}$
Nhân các vế cho 2 ta được $dpcm$
Bài 2:
b)
Áp dụng BDT Cauchy:
$a^2+b^2 \ge 2ab$
$b^2+c^2 \ge 2bc$
$c^2+a^2 \ge 2ca$
Cộng các vế lại và chia 2 ta được $dpcm$