[Toán 8] chứng minh n^5 - n chia hết cho 30 với mọi số nguyên n.

[sonlam_boydepzai]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

chứng minh n^5 - n chia hết cho 30 với mọi số nguyên n.

 

[hoan1793]

A=n^5-n
=n(n^4-1)
=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
n(n-1)(n+1) chia hết cho 6
nếu n=5k => A chia hết cho 5.6=30
nếu n=5k+1 => -1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 30
Nếu n=5k+2 => ^2+1=25k^2+20k+5 chia hết cho 5
=> A chia hết cho 10
nếu n=5k+3 =>^2+1=25k^2+30k+10 chia hết cho 5
=>A chia hết cho 30
Nếu n=5k+4 =>+1=5k+5 chia hết cho 5
=>A chia hết cho 30
Vậy với n nguyên dương thì n^5-n chia hết cho 30

 

[kool_boy_98]

Tham khảo cái bài này:

Phân tích bài thế này

[tex]A =n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2-4+5)=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1)[/tex]

Ta có 1 nhận xét. Đó là, tích n số nguyên liên tiếp thì chia hết cho n, dễ dàng chứng minh đc

Khi đó, áp dụng cho 3 số và 5 số ta có, [tex]n(n-1)(n+1)[/tex] chia hết cho 3, và [tex]n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)[/tex] chia hết cho 5 -> A chia hết cho 5

Nhận xét tiếp, trong 3 số nguyên liên tiếp, tồn tại ít nhất một số chẵn -> tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2 -> tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 vì (2,3)=1 -> tích 5 só nguyên liên tiếp chia hết cho 6 -> cả 2 số hạng trng phân tích của A đều chia hết cho 6 -> A chia hết cho 6

Mà A lại chia hết cho 5, (5,6)=1 -> A chia hết cho 30

_________________________________________________