[Toán 8] Chứng minh không đổi

[depvazoi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $\Delta ABC$ đều và điểm M ở miền trong tam giác. Gọi A', B', C' lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên cạnh BC, AC, AB. CMR:
a) MA' + MB' + MC' không đổi.
b) AC' + BA' + CB' không đổi.
Chứng minh rõ ràng nha mấy bạn.

 

[harrypham]

a) Ta có [TEX]\large MA' \cdot BC+ MB' \cdot AC+ MC' \cdot AB= 2S_{ABC}[/TEX].
Do đó [TEX]\large MA'+MB'+MC'= \frac{2S_{ABC}}{AB}[/TEX]
Kẻ [TEX]\large AH \perp BC[/TEX].
Vì tam giác [TEX]\large ABC[/TEX] đều nên [TEX]\large AH= \frac{\sqrt 3}{2}AB[/TEX].
Do đó [TEX]\large S_{ABC}= \frac{\sqrt 3}{4} AB^2[/TEX].
Do đó [TEX]\large MA'+MB'+MC'= \frac{ \sqrt 3}{2} AB[/TEX], không đổi.
b) Ta có [TEX]AC'^2+BA'^2+B'C^2= (MA^2- C'M^2 )+(MB^2-A'M^2 )+(MC^2-B'M^2 )[/TEX]
[TEX]= (MA^2-MB'^2)+(MB^2-MC'^2)+(MC^2-A'M^2)= B'A^2+BC'^2+A'C^2[/TEX].
Do đó [TEX](AC'^2-C'B^2)+(B'C^2-B'A^2)+(A'B^2-A'C^2)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow AC'-C'B+B'C-B'A+A'B-A'C=0 \Rightarrow AC'+B'C+A'B=C'B+B'A+A'C= \frac{AB+BC+CA}{2}= \frac 32 AB[/TEX], không đổi.