[Toán 8] Chứng minh đẳng thức

[gangoinocnha]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh:
Đề 1:Nếu [tex] x^2+y^2+z^2[/tex]=xy+yz+zx thì x=y=z
Đề 2:Nếu x+y+z=0 thì[tex] x^3+y^3+z^3 [/tex]=3xyz

 

[vuanoidoi]

Chứng minh:
Đề 1:Nếu [tex] x^2+y^2+z^2[/tex]=xy+yz+Zx thì x=y=z

áp dụng AM-GM ta có
[tex]x^2+y^2 \geq2xy[/tex] "=" khi x=y
[tex]x^2+z^2 \geq2xz[/tex] "=" khi x=z
[tex]z^2+y^2 \geq2zy[/tex] "=" khi z=y
cộng lại ta có Q.E.D

Chú ý bài viết có dấu, tái phạm del bài

 

[tell_me_goobye]

bài này dễ mà

[TEX] 2(x^2+y^2+z^2) = 2(xy+yz+xz)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=y=z[/TEX]

ok

 

[0915549009]

Bài này có 2 cách:
C1: Dùng AM-GM:
[TEX]x^2+y^2\geq2xy ; y^2 + z^2 \geq 2yz; z^2 + x^2 \geq 2xz \Leftrightarrow 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 \geq 2xy + 2yz + 2xz \Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + xz[/TEX]
Dấu = xảy ra \Leftrightarrow x = y = z
C2: [TEX]x^2 + y^2 + z^2 = xy + xz + yz \Leftrightarrow 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 = 2xy + 2yz + 2xz \Leftrightarrow 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy + 2yz + 2xz = 0 \Leftrightarrow (x - y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 = 0 \Leftrightarrow x = y= z [/TEX]

 

[0915549009]

Chứng minh:
Đề 2:Nếu x+y+z=0 thì [tex] x^3+y^3+z^3 [/tex]=3xyz

ta có:
[TEX]x^3+y^3+z^3 = (x+y+z)^3 - 3(z+x)(y+z)(x+y) = 0 - 3(-y)(-x)(-z) = 3xyz[/TEX]

 

[trangkhanhkhoi]

Câu 2 giải cách thông thường
[tex]x^3+y^3+z^3=3xyz[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x+y)^3+z^3-3xy(x+y)-3xyz=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x+y+z)[(x+y)^2-z(x+y)+z^2]-3xy(x+y+z)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x+y+z)[(x+y)^2-z(x+y)+z^2-3xy]=0[/tex]
[tex]\Rightarrow x+y+z=0[/tex]
Đẳng thức cuối đúng
[tex]\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz[/tex] (đpcm)

 

[trangkhanhkhoi]

bài này dễ mà

[TEX] 2(x^2+y^2+z^2) = 2(xy+yz+xz)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=y=z[/TEX]

ok

Tại sao [tex](x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2=0[/tex] thì [tex]x=y=z[/tex] được bạn
Chỉ khi nào [tex](x-y)^2=0[/tex] hay [tex](y-z)^2=0[/tex] hay [tex](x-z)^2=0[/tex] thì [tex]x=y=z[/tex].Ở đây bạn chưa chứng minh được điều này mà
[tex]x^2+y^2+z^2 = xy+yz+xz[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2) = 2(xy+yz+xz)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-y+y-z)^2-2(x-y)(y-z)+(z-x)^2=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-z)^2-2(x-y)(y-z)+(z-x)^2=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow -(z-x)^2-2(x-y)(y-z)+(z-x)^2=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow -2(x-y)(y-z)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2(y-x)(y-z)=0[/tex]
[tex]\Rightarrow y-x=0[/tex] và [tex]y-z=0[/tex]
[tex]\Rightarrow y=x[/tex] [tex](1)[/tex] và [tex]y=z[/tex] [tex](2)[/tex]
Từ [tex](1)[/tex] và [tex](2)[/tex]
[tex]\Rightarrow x=y=z[/tex]

 

[0915549009]

Tại sao [tex](x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2=0[/tex] thì [tex]x=y=z[/tex] được bạn
Chỉ khi nào [tex](x-y)^2=0[/tex] hay [tex](y-z)^2=0[/tex] hay [tex](x-z)^2=0[/tex] thì [tex]x=y=z[/tex].Ở đây bạn chưa chứng minh được điều này mà
[tex]x^2+y^2+z^2 = xy+yz+xz[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2) = 2(xy+yz+xz)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-y+y-z)^2-2(x-y)(y-z)+(z-x)^2=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-z)^2-2(x-y)(y-z)+(z-x)^2=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow -(z-x)^2-2(x-y)(y-z)+(z-x)^2=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow -2(x-y)(y-z)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2(y-x)(y-z)=0[/tex]
[tex]\Rightarrow y-x=0[/tex] và [tex]y-z=0[/tex]
[tex]\Rightarrow y=x[/tex] [tex](1)[/tex] và [tex]y=z[/tex] [tex](2)[/tex]
Từ [tex](1)[/tex] và [tex](2)[/tex]
[tex]\Rightarrow x=y=z[/tex]

Anh tell làm đúng rùi bạn ạ.
[tex](x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2=0[/tex] thì hiển nhiên x = y = z rùi
Nếu bạn muốn CM thì mình sẽ CM như sau:
Do [TEX](x-y)^2 \geq 0[/TEX] ; [TEX](y-z)^2\geq0[/TEX]; [TEX](z-x)^2\geq0[/TEX]
Cộng vế vs vế của 3BĐT trên [tex] \Rightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2 \geq 0[/tex]
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow [TEX](x-y)^2 = 0[/TEX] ; [TEX](y-z)^2 = 0[/TEX]; [TEX](z-x)^2 = 0\Leftrightarrow x = y = z[/TEX]

 

[trydan]

Bài 1:

(đpcm)
Bài 2:

 

[ntuan5]

Bài 1:

(đpcm)
Bài 2:

bài 2 bạn làm sai rồi kìa.Mình sửa lại nhá
[TEX] X^3+Y^3+Z^3=3XYZ[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]X^3+Y^3+Z^3-3XYZ=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]X^3+Y^3+Z^3+3XY(X+Y)=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]X^3+Y^3+Z^3=-3XY(X+Y)=3XYZ[/TEX]