Toán 8-- Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức

K

khaiproqn81

Vì $x + y + z = 0$ suy ra $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$. Từ đó:
$( x^3 + y^3 + z^3 ) ( x^2 + y^2 + z^2 ) = 3xyz ( x^2 + y^2 + z^2) \\ x^5 + y^5 + z^5 + x^2 y^2( x + y ) + y^2 z^2 ( y + z ) + z^2x^2( z + x ) = 3xyz ( x^2 + y^2 + z^2) \\ x^5 + y^5 + z^5 + xyz ( xy + yz + zx ) = 3xyz ( x^2 + y^2 + z^2) \\ x^5 + y^5 + z^5 + xyz.= 3xyz ( x^2 + y^2 + z^2) \\ 2( x^5 + y^5 + z^5 ) = 5xyz ( x^2 + y^2 + z^2)$
 
Last edited by a moderator:
M

mzmxmcmvmbmnmm

1,
vi a+b+c=0
\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc (4)
Mặt khác do a+b+c=0
\Leftrightarrowa+b=-c
\Rightarrow (a+b)^2=c^2
\Rightarrow a^2+b^2=c^2-2ab (1)
CMTT b^2+c^2=a^2-2bc (2)
c^2+a^2=b^2-2ac. (3)
ta có: a^5+b^5+c^5=(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)- ( a^3(b^2+c^2) + b^3(a^2+c^2) + c^3(a^2+b^2)
thay (1),(2),(3),(4) vao ta được
a^5+b^5+c^5=3abc(a^2+b^2+c^2)-a^5+2a^2bc -b^5+2b^2ac-c^5+2c^2ab
chuyển a^5,b^5,c^5 sang vế trái ta được:
2(a^5+b^5+c^5)=3abc(a^2+b^2+c^3) + 2abc(a^2+b^2+c^2)
\Rightarrow 2(a^5+b^5+c^5)=5abc(a^2+b^2+c^2) (đpcm)

NHỚ CẢMOWN VS NHA CÁC BẠN
 
C

congchuaanhsang

khaiproqn81 said:
Vì $x + y + z = 0$ suy ra $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$. Từ đó:
$( x^3 + y^3 + z^3 ) ( x^2 + y^2 + z^2 ) = 3xyz ( x^2 + y^2 + z^2) \\ x^5 + y^5 + z^5 + x^2 y^2( x + y ) + y^2 z^2 ( y + z ) + z^2x^2( z + x ) = 3xyz ( x^2 + y^2 + z^2) \\ x^5 + y^5 + z^5 + xyz ( xy + yz + zx ) = 3xyz ( x^2 + y^2 + z^2) \\ x^5 + y^5 + z^5 + xyz.= 3xyz ( x^2 + y^2 + z^2) \\ 2( x^5 + y^5 + z^5 ) = 5xyz ( x^2 + y^2 + z^2)$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Một lời giải khác ở đây

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=2405407#post2405407
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom