P
phianhchau001
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Công thức Hê-rông(Heron) là một công thức tính diện tích của một tam giác bất kỳ khi biết ba cạnh tam giác. Công thức Hê-rông là
[TEX]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/TEX] với [TEX]p=\frac{a+b+c}{2}[/TEX]
Sau đây mình sẽ giới thiệu cách chứng minh công thức này bằng kiến thức lớp 7+8.
Chứng minh:
Kẻ [TEX]AH \bot BC[/TEX]. Đặt AB=c; BC=a; CA=b; BH=x; AH=h. Khi đó:
Xét [TEX]\triangle AHB[/TEX]( đây là tam giác vuông) có:
[TEX]h^2+x^2=c^2[/TEX](1)
Xét [TEX]\triangle AHC[/TEX]( đây là tam giác vuông) có:
[TEX]h^2+(a-x)^2=b^2 \Rightarrow h^2+a^2-2ax+x^2=b^2[/TEX](2)
Lấy (1)-(2) theo vế, ta có:
[TEX]2ax-a^2=c^2-b^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x=\frac{a^2-b^2+c^2}{2a} [/TEX](3)
Thay (3) vào (1), ta có:
[TEX]c^2=h^2+(\frac{a^2-b^2+c^2}{2a})^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow h^2= c^2-(\frac{a^2-b^2+c^2}{2a})[/TEX]
[TEX]=(c-\frac{a^2-b^2+c^2}{2a})(c+\frac{a^2-b^2+c^2}{2a})[/TEX]
[TEX]=\frac{2ac-a^2+b^2-c^2}{2a}.\frac{2ac+a^2-b^2+c^2}{2a}[/TEX]
[TEX]=\frac{(a+c)^2-b^2}{2a}.\frac{b^2-(a-c)^2}{2a}[/TEX]
[TEX]\frac{(a+b+c)(a+c-b)(b-a+c)(b+a-c)}{4a^2} [/TEX](*)
Với [TEX]\frac{a+b+c}{2}=p \Rightarrow 2p=a+b+c \Rightarrow \left{\begin{a+c-b=2(p-b)}\\{a+b-c=2(p-c)}\\{b-a+c=2(p-a)[/TEX](**)
Thay (**) vào (*), ta có:
[TEX]h^2=\frac{2p.2(p-b).2(p-a).2(p-c)}{4a^2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow h=\sqrt{\frac{2p.2(p-b).2(p-a).2(p-c)}{4a^2}}[/TEX]
[TEX]=\frac{2}{a}.\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow S_ABC=ah=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/TEX].
Đây là cách chứng minh đơn giản của công thức Hê-rông. Công thức này thường gặp ở các bài toán Casio phần tính diện tích, khi làm bài ta cần chứng minh rồi mới thay số vào.
Lên lớp 9, sẽ có cách chứng minh khác.
[TEX]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/TEX] với [TEX]p=\frac{a+b+c}{2}[/TEX]
Sau đây mình sẽ giới thiệu cách chứng minh công thức này bằng kiến thức lớp 7+8.
Chứng minh:
Kẻ [TEX]AH \bot BC[/TEX]. Đặt AB=c; BC=a; CA=b; BH=x; AH=h. Khi đó:
Xét [TEX]\triangle AHB[/TEX]( đây là tam giác vuông) có:
[TEX]h^2+x^2=c^2[/TEX](1)
Xét [TEX]\triangle AHC[/TEX]( đây là tam giác vuông) có:
[TEX]h^2+(a-x)^2=b^2 \Rightarrow h^2+a^2-2ax+x^2=b^2[/TEX](2)
Lấy (1)-(2) theo vế, ta có:
[TEX]2ax-a^2=c^2-b^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x=\frac{a^2-b^2+c^2}{2a} [/TEX](3)
Thay (3) vào (1), ta có:
[TEX]c^2=h^2+(\frac{a^2-b^2+c^2}{2a})^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow h^2= c^2-(\frac{a^2-b^2+c^2}{2a})[/TEX]
[TEX]=(c-\frac{a^2-b^2+c^2}{2a})(c+\frac{a^2-b^2+c^2}{2a})[/TEX]
[TEX]=\frac{2ac-a^2+b^2-c^2}{2a}.\frac{2ac+a^2-b^2+c^2}{2a}[/TEX]
[TEX]=\frac{(a+c)^2-b^2}{2a}.\frac{b^2-(a-c)^2}{2a}[/TEX]
[TEX]\frac{(a+b+c)(a+c-b)(b-a+c)(b+a-c)}{4a^2} [/TEX](*)
Với [TEX]\frac{a+b+c}{2}=p \Rightarrow 2p=a+b+c \Rightarrow \left{\begin{a+c-b=2(p-b)}\\{a+b-c=2(p-c)}\\{b-a+c=2(p-a)[/TEX](**)
Thay (**) vào (*), ta có:
[TEX]h^2=\frac{2p.2(p-b).2(p-a).2(p-c)}{4a^2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow h=\sqrt{\frac{2p.2(p-b).2(p-a).2(p-c)}{4a^2}}[/TEX]
[TEX]=\frac{2}{a}.\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow S_ABC=ah=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/TEX].
Đây là cách chứng minh đơn giản của công thức Hê-rông. Công thức này thường gặp ở các bài toán Casio phần tính diện tích, khi làm bài ta cần chứng minh rồi mới thay số vào.
Lên lớp 9, sẽ có cách chứng minh khác.
Last edited by a moderator:
