[Toán 8] Chứng minh chia hết

M

megamanxza

Last edited by a moderator:
E

etete

b) CMR: 7^(n + 2) + 8^(2n + 1) chia hết cho 19.
Những bài có số mũ là n thì rất hay sử dụng phương quy nạp
Với n = 0 => 7^(n + 2) + 8^(2n + 1) = 7² + 8 = 57. Do 57 chia hết cho 19 => mệnh đề đúng với n = 0
Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k ≥ 0 )
=> Ta có: 7^(k + 2) + 8^(2k + 1) chia hết cho 19.
Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1
hay ta phải chứng minh:
7^(k + 1 + 2) + 8^[ 2(k+1) + 1 ] chia hết cho 19
Ta có:7^(k + 1 + 2) + 8^[ 2(k+1) + 1 ]
= 7^[(k + 2) + 1] + 8^[ (2k+1)+ 2 ]
= 7^(k + 2).7 + 8^(2k + 1).8²
= 7.7^(k + 2) + 64.8^(2k + 1)
= 7.7^(k + 2) + (7 + 57).8^(2k + 1)
= 7.7^(k + 2) + 7.8^(2k + 1)+ 57.8^(2k + 1)
= 7[ 7^(k + 2) + .8^(2k + 1) ] + 57.8^(2k + 1)
Do 7^(k + 2) + .8^(2k + 1) chia hết cho 19 => 7[ 7^(k + 2) + .8^(2k + 1) ] chia hết cho 19 (1)
Vì 57 chia hết cho 19 => 57.8^(2k + 1) chia hết cho 19 (2)
Từ (1) và (2) => 7[ 7^(k + 2) + .8^(2k + 1) ] + 57.8^(2k + 1) chia hết cho 19
=> 7^(k + 1 + 2) + 8^[ 2(k+1) + 1 ] chia hết cho 19
=> đpcm
 
L

lamdetien36

Thým tranh thủ học luôn định lý Euler đi, sau này Tin dùng nhiều đấy, điển hình là THT vừa rồi dùng định lý Euler đó.
Bài 1a:
$n^6 \equiv 1$ (mod 7) (theo định lý Euler và $\phi$7 = 6)
Suy ra $n^6 - 1 \equiv 0$ (mod 7)
Hay $n^6 - 1$ chia hết cho 7.
Vậy $n(n^6 - 1) = n^7 - n$ chia hết cho 7.
 
L

lamdetien36

Tương tự, bài 2:
$ab^3 - a^3b = ab(a^2 - b^2)$
Ta có $\phi$6 = 2
Suy ra
$a^2 \equiv 1$ (mod 6)
$b^2 \equiv 1$ (mod 6)
Nên $a^2 - b^2 \equiv 0$ (mod 6)
Hay $a^2 - b^2$ chia hêt cho 6.
Vậy $ab^3 - a^3b$ chia hết cho 6.
 
F

forum_

1a xài Fec-ma nhanh hơn :D

$n^7$ $\equiv$ n (mod 7)

\Rightarrow $n^7 - n$ chia hết cho 7
 
Last edited by a moderator:
L

lamdetien36

À cho tui xin lỗi, bài trên làm bị nhầm, quên mất là phải xét NTCN :( Mod xóa bài 2 dùm tui với :)
Bài 1a làm đầy đủ phải thế này:
Với n chia hết cho 7 thì $n^7-n$ hiển nhiên chia hết cho 7.
Với n không chia hêt cho 7 thì hiển nhiên n và 7 nguyên tố cùng nhau. Sau đó làm như trên.
 
Last edited by a moderator:
P

popstar1102


1d)

$n^4+6n^3+11n^2+6n$

=$n(n^3+6n^2+11n+6)$

=n(n+3)(n+1)(n+2)

ta có $n(n+1)(n+2)\vdots 3$

$n(n+1)\vdots 2$

$n(n+1)(n+2)(n+3)\vdots 4$

mà (2,3,4)=1

nên suy ra dpcm
 
F

forum_

$ab^3 - a^3b = ab(a^2 - b^2) = ab[(a^2-1) - (b^2-1)] = ab[(a-1)(a+1) - (b-1)(b+1)] = ab(a-1)(a+1) - ab(b-1)(b+1)$

Rõ ràng: ab(a-1)(a+1) chia hết cho 3

ab(b-1)(b+1) chia hết cho 3

Do đó có đpcm:)
 
L

lamdetien36

Làm lại bài 2:
$ab^3 - a^3b$
$=(ab^3 - ab) - (a^3b - ab)$
$=ab(b^2 - 1) - ab(a^2 - 1)$
$=ab(b - 1)(b + 1) - ab(a-1)(a+1)$
Ta có b(b - 1)(b + 1) chia hết cho 6 và a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 6 (3 số nguyên liên tiếp)
Suy ra đpcm
 
T

thanhcong20th11@gmail.com

Cho mình hỏi, định lí Euler là định lí gì vậy?bạn nào biết trình bày cho mình biết đi :-h
 
T

Tông Văn Bình

Học sinh mới
Thành viên
1 Tháng sáu 2017
1
0
1
22
Nhờ các bạn giải giúp: Cho A = 2(1^2015+2^2015+3^2015+....+n^2015). Chứng minh rằng A chia hết cho n(n + 1).
Cảm ơn các bạn nhiều
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom