[Toán 8]Chứng minh biểu thức sau không phải là số nguyên

[vippro36.14]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR $\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+d}+\dfrac{c}{b+c+d}+\dfrac{d}{a+c+d}$ không phải số nguyên

Chú ý cách đặt tiêu đề: [Toán 8]+nội dung pic.
Cảnh cáo lần 1

 

[hailixiro142]

Bài toán thiếu điều kiện, phải cho a, b, c và d là các số nguyên dương bất kì!
chứng minh:
Do a;b;c và d là các số nguyên dương =>
a + b + c < a + b + c + d
a + b + d < a + b + c + d
a + c + d < a + b + c + d
b + c + d < a + b + c + d
=>$\frac{a}{a + b + c} > \frac{a}{a + b + c + d}$ (1)
$\frac{b}{a + b + d} > \frac{b}{a + b + c + d}$ (2)
$\frac{c}{b + c + d} >\frac{c}{a + b + c + d}$ (3)
$\frac{d}{a + c + d} > \frac{d}{a + b + c + d}$ (4)
Từ (1), (2), (3) và (4)
=> $\frac{a}{a + b + c}$ + $\frac{b}{a + b + d}$ + $\frac{c}{b + c + d}$ + $\frac{d}{a + c + d}$ > $\frac{a}{a + b + c + d}$ + $\frac{b}{a + b + c + d}$+$\frac{c}{a + b + c + d}$ + $\frac{d}{a + b + c + d}$
<=>$\frac{a}{a + b + c}$ + $\frac{b}{a + b + d}$ + $\frac{c}{b + c + d}$ + $\frac{d}{a + c + d}$ > $\frac{a + b + c + d}{a + b + c + d}$
<=> $\frac{a}{a + b + c}$ + $\frac{b}{a + b + d}$ + $\frac{c}{b + c + d}$ + $\frac{d}{a + c + d}$ > 1
=> A > 1 (*)

Ta có: (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d)
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - (a² + ab + ac + ad)
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - a² - ab - ac - ad
= bd + cd
Do a ; b ; c và d là số nguyên dương
=> bd + cd > 0
<=> (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d) > 0
<=> (a + b + c)(a + d) > a(a + b + c + d)
<=> $\frac{a + d}{a + b + c + d} > \frac{a}{a + b + c}$(5)
Chứng minh tương tự ta được:
$\frac{b + c}{a + b + c + d} > \frac{b}{a + b + d}$ (6)
$\frac{a+ c}{a + b + c + d} > \frac{c}{a + b + d}$ (7)
$\frac{b + d}{a + b + c + d} > \frac{d}{a + b + d}$ (8)
Cộng vế với vế của (5);(6);(7) và (8) ta được:
$\frac{b + c}{a + b + c + d}+ \frac{a+ c}{a + b + c + d} + \frac{b + d}{a + b + c + d} > \frac{b}{a + b + d} + \frac{c}{a + b + d} + \frac{d}{a + b + d}$
=> $\frac{a + d + b + c + a + c + b + d}{a + b + c + d} > A$
<=> $\frac{2(a + b + c + d)}{a + b + c + d} > A$
=> 2 > A (*)(*)
Từ (*) và (*)(*)
=> 1 < A < 2
=> A không phải là số nguyên.

 

[eye_smile]

Bài toán thiếu điều kiện, phải cho a, b, c và d là các số nguyên dương bất kì!
chứng minh:
Do a;b;c và d là các số nguyên dương =>
a + b + c < a + b + c + d
a + b + d < a + b + c + d
a + c + d < a + b + c + d
b + c + d < a + b + c + d
=>$\frac{a}{a + b + c} > \frac{a}{a + b + c + d}$ (1)
$\frac{b}{a + b + d} > \frac{b}{a + b + c + d}$ (2)
$\frac{c}{b + c + d} >\frac{c}{a + b + c + d}$ (3)
$\frac{d}{a + c + d} > \frac{d}{a + b + c + d}$ (4)
Từ (1), (2), (3) và (4)
=> $\frac{a}{a + b + c}$ + $\frac{b}{a + b + d}$ + $\frac{c}{b + c + d}$ + $\frac{d}{a + c + d}$ > $\frac{a}{a + b + c + d}$ + $\frac{b}{a + b + c + d}$+$\frac{c}{a + b + c + d}$ + $\frac{d}{a + b + c + d}$
<=>$\frac{a}{a + b + c}$ + $\frac{b}{a + b + d}$ + $\frac{c}{b + c + d}$ + $\frac{d}{a + c + d}$ > $\frac{a + b + c + d}{a + b + c + d}$
<=> $\frac{a}{a + b + c}$ + $\frac{b}{a + b + d}$ + $\frac{c}{b + c + d}$ + $\frac{d}{a + c + d}$ > 1
=> A > 1 (*)

Ta có: (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d)
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - (a² + ab + ac + ad)
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - a² - ab - ac - ad
= bd + cd
Do a ; b ; c và d là số nguyên dương
=> bd + cd > 0
<=> (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d) > 0
<=> (a + b + c)(a + d) > a(a + b + c + d)
<=> $\frac{a + d}{a + b + c + d} > \frac{a}{a + b + c}$(5)
Chứng minh tương tự ta được:
$\frac{b + c}{a + b + c + d} > \frac{b}{a + b + d}$ (6)
$\frac{a+ c}{a + b + c + d} > \frac{c}{a + b + d}$ (7)
$\frac{b + d}{a + b + c + d} > \frac{d}{a + b + d}$ (8)
Cộng vế với vế của (5);(6);(7) và (8) ta được:
$\frac{b + c}{a + b + c + d}+ \frac{a+ c}{a + b + c + d} + \frac{b + d}{a + b + c + d} > \frac{b}{a + b + d} + \frac{c}{a + b + d} + \frac{d}{a + b + d}$
=> $\frac{a + d + b + c + a + c + b + d}{a + b + c + d} > A$
<=> $\frac{2(a + b + c + d)}{a + b + c + d} > A$
=> 2 > A (*)(*)
Từ (*) và (*)(*)
=> 1 < A < 2
=> A không phải là số nguyên.

Mình có cách khác nè:
*Ta có: [tex]\frac{a}{{a + b + c + d}} < \frac{a}{{a + b + c}}[/tex]
[tex]\frac{b}{{a + b + c + d}} < \frac{b}{{a + b + d}}[/tex]
[tex]\frac{c}{{a + b + c + d}} < \frac{c}{{b + c + d}}[/tex]
[tex]\frac{d}{{a + b + c + d}} < \frac{d}{{a + c + d}}[/tex]
=>[tex]\frac{a}{{a + b + c + d}} + \frac{b}{{a + b + c + d}} + \frac{c}{{a + b + c + d}} + \frac{d}{{a + b + c + d}} < \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{a + b + d}} + \frac{c}{{b + c + d}} + \frac{d}{{a + c + d}}[/tex]
=>[tex]\frac{{a + b + c + d}}{{a + b + c + d}} < \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{a + b + d}} + \frac{c}{{b + c + d}} + \frac{d}{{a + c + d}}[/tex]
=>[tex]1 < \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{a + b + d}} + \frac{c}{{b + c + d}} + \frac{d}{{a + c + d}}[/tex]
*Lại có: [tex]\frac{a}{{a + b + c}} = 1 - \frac{{b + c}}{{a + b + c}}[/tex]
[tex]\frac{b}{{a + b + d}} = 1 - \frac{{a + d}}{{a + b + d}}[/tex]
[tex]\frac{c}{{b + c + d}} = 1 - \frac{{b + d}}{{b + c + d}}[/tex]
[tex]\frac{d}{{a + c + d}} = 1 - \frac{{a + c}}{{a + c + d}}[/tex]
=>[tex]\frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{a + b + d}} + \frac{c}{{b + c + d}} + \frac{d}{{a + c + d}} = 4 - \left( {\frac{{b + c}}{{a + b + c}} + \frac{{a + d}}{{a + b + d}} + \frac{{b + d}}{{b + c + d}} + \frac{{a + c}}{{a + c + d}}} \right)[/tex](*)
Ta có: [tex]\frac{{b + c}}{{a + b + c}} > \frac{{b + c}}{{a + b + c + d}}[/tex]
[tex]\frac{{a + d}}{{a + b + d}} > \frac{{a + d}}{{a + b + c + d}}[/tex]
[tex]\frac{{b + d}}{{b + c + d}} > \frac{{b + d}}{{a + b + c + d}}[/tex]
[tex]\frac{{a + c}}{{a + c + d}} > \frac{{a + c}}{{a + b + c + d}}[/tex]
=>[tex]\frac{{b + c}}{{a + b + c}} + \frac{{a + d}}{{a + b + d}} + \frac{{b + d}}{{b + c + d}} + \frac{{a + c}}{{a + c + d}} > \frac{{b + c}}{{a + b + c + d}} + \frac{{a + d}}{{a + b + c + d}} + \frac{{b + d}}{{a + b + c + d}} + \frac{{a + c}}{{a + b + c + d}}[/tex]
=>[tex]\frac{{b + c}}{{a + b + c}} + \frac{{a + d}}{{a + b + d}} + \frac{{b + d}}{{b + c + d}} + \frac{{a + c}}{{a + c + d}} > \frac{{b + c + a + d + b + d + a + c}}{{a + b + c + d}}[/tex]
=>[tex]\frac{{b + c}}{{a + b + c}} + \frac{{a + d}}{{a + b + d}} + \frac{{b + d}}{{b + c + d}} + \frac{{a + c}}{{a + c + d}} > 2[/tex](**)
Từ (*) và (**)=>[tex]\frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{a + b + d}} + \frac{c}{{b + c + d}} + \frac{d}{{a + c + d}} = 4 - \left( {\frac{{b + c}}{{a + b + c}} + \frac{{a + d}}{{a + b + d}} + \frac{{b + d}}{{b + c + d}} + \frac{{a + c}}{{a + c + d}}} \right) < 4 - 2 = 2[/tex]
Biểu thức đã cho lớn hơn 1 nhỏ hơn 2=> không là số nguyên