[Toán 8] Chứng minh BĐT

[khanhvy.hoduong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh BĐT $(1)$ và áp dụng để chứng minh BĐT $(2):$

a.
BĐT $(1):$ $\dfrac{1}{x}$+ $\dfrac{1}{y}$ \geq $\dfrac{4}{x+y}$ (Với $x; y> 0$)
BĐT $(2):$ $\dfrac{1}{p- a}$+ $\dfrac{1}{p- b}$+ $\dfrac{1}{p- c}$ \geq $2(\dfrac{1}{a}$+ $\dfrac{1}{b}$+ $\dfrac{1}{c})$ (Với $a, b, c$ là độ dài các cạnh và $p$ là nửa chu vi của một tam giác)

b.
BĐT $(1): x^2+ y^2$ \geq $\dfrac{(x+y)^2}{2}$
BĐT $(2): x^4+ y^4$ \geq $\dfrac{(x+y)^4}{8}$

 

[transformers123]

Câu a:

BĐT 1:

Xét $(x+y)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}) \ge 2\sqrt{xy}.\dfrac{2}{\sqrt{xy}} = 4 $ (áp dụng bđt Cauchy)

$\iff \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{x+y}$

BĐT 2:

$\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b} \ge \dfrac{4}{2p-a-b} = \dfrac{4}{a+b+c-a-b} = \dfrac{4}{c}$

cmtt rồi cộng lại, ta có:

$2(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}) \ge 4(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$

$\iff \dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c} \ge 2(
\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$

 

[transformers123]

Câu b:

BĐT 1:

$x^2+y^2 \ge \dfrac{x+y)^2}{2}$

$\iff 2x^2+2y^2 \ge (x+y)^2$

$\iff (x-y)^2 \ge 0$ (luôn đúng)

BĐT 2:

$x^4+y^4 \ge \dfrac{(x^2+y^2)^2}{2} \ge \dfrac{(\dfrac{(x+y)^2}{2})^2}{2} = \dfrac{(x+y)^4}{8}$