[ Toán 8 ] chứng minh BĐT

E

eye_smile

Ta chứng minh BĐT: ${a^3} + {b^3} \ge ab\left( {a + b} \right)\left( {a;b > 0} \right)$ (1)
$ \leftrightarrow {a^2} - ab + {b^2} \ge ab$
$ \leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0$
$ \leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$ (đpcm)
Cần chứng minh BĐT :$1 + {a^2}b > {a^3} + {b^3}$ (2)
Cộng 2 vế của 2 BĐT lại với nhau, ta được:
$1 + {a^2}b + {a^3} + {b^3} > {a^3} + {b^3} + ab\left( {a + b} \right)$
$ \leftrightarrow 1 > a{b^2}$ (3)
Ta có: $0 < a;b < 1 \to \left\{ \begin{array}{l}
a < 1 \\
b < 1 \\
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
a < 1 \\
{b^2} < 1 \\
\end{array} \right. \to a{b^2} < 1$
$ \to $ (3) luôn đúng với $0 < a;b < 1$
$ \to $ BĐT (2) đúng
 
M

mr_phamduong

khái quát các bước giải của bạn như sau:( biến đổi thuận )
dễ có [TEX]1 > a^2b[/TEX]
=) [TEX]1+a^2b+a^3+b^3 > a^3+b^3+ab(a+b)[/TEX] (1)
chứng minh được [TEX]a^3+b^3 \geq ab(a+b)[/TEX] (2)
Rồi trừ theo vế 2 BĐT (2) và (1) ****************************?????
cách làm này không ổn rồi!!!!!!!!!!!!!!!!!
 
E

eye_smile

Cách của mình là cộng của bạn là trừ. Mình vẫn thấy 2 cách khác nhau
Không được trừ 2 BĐT cùng chiều đâu bạn ạ. Chỉ được cộng thôi:)
 
Last edited by a moderator:
M

mr_phamduong

biến đổi BĐT tương đương bao giờ cũng phải thỏa mãn khi biến đổi thuận !!!!!!!!
biến đổi ngược thì (1) + (2) =) (3) là bđt đúng
nhưng (3) không suy ra (2) hay (1)
đây là mũi tên một chiều chứ không phải tương đương( 2 chiều )
 
M

mr_phamduong

lấy ví dụ nhé:
để chứng minh (1) , có (2),(3) đúng
lấy (1) + (2) = (3) =) BĐT đúng-đây là biến đổi ngược
nhưng từ 2 cái đúng là (2) và (3) bạn không thể suy ra (1) là đúng
chẳng nhẽ lại lấy (3) - (2) = (1 ) , do (3), (2) đúng =) (1) đúng ****************************????????????
 
C

conga222222

mr_phamduong said:
Cho [TEX]0< a,b < 1[/TEX]
chứng minh rằng [TEX]a^3 + b^3 < 1 + a^2b[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

\[\begin{array}{l}
neu:b \ge a \to b{a^2} \ge {a^3}\\
\to 1 + {a^2}b \ge 1 + {a^3}\\
ma:1 > b \to 1 > {b^3}\\
\to 1 + {a^2}b \ge 1 + {a^3} > {b^3} + {a^3}\\
neu:b \le a \to {a^2}b \ge {b^3}\\
\to 1 + {a^2}b \ge 1 + {b^3}\\
ma:1 > a \to 1 > {a^3}\\
\to 1 + {a^2}b \ge 1 + {b^3} > {a^3} + {b^3}
\end{array}\]
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom