[Toán 8] Chứng minh BDT

[c2nghiahoalgbg]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho x>y và xy=1.Chứng minh rằng $\frac{(x^2+y^2)^2}{(x-y)^2}$\geq 8
2.Cho xy\geq 1. Chứng minh rằng $\frac{1}{1+x^2}$+$\frac{1}{1+y^2}$\geq$\frac{2}{1+xy}$

(*)(*)(*)(*)(*)

 

[conan98md]

bài 2 :

$\frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1+y^2}$ \geq $\frac{2}{1+xy}$

\Leftrightarrow $(1+x^2+1+y^2)(1+xy)$ \geq 2$(1+x^2)(1+y^2)$

\Leftrightarrow $(xy-1)(x-y)^2$ \geq 0

\Rightarrow đpcm

 

[cry_with_me]

b)

vì x>y nên x-y >0

~> $ (x^2 + y^2)^2 $ \geq $8(x-y)^2 $

<-> $ (x^2 + y^2)^2 -8(x^2 + y^2) + 8.2xy $ \geq 0

thay xy=1 ta đc:

$ (x^2 + y^2)^2 -8(x^2 + y^2) + 16 $ \geq 0 (1)

đặt $ x^2 + y^2 = a$ ( bước này chỉ để cho thuận mắt thôi, tới đây bạn có thể KL luôn bdt luôn đúng rồi )

bất pt (1) trở thành

$ a^2 -8a + 16 $ \geq 0

nhận thấy $ a^2 -8a + 16 $ \geq 0 ( bất đẳng thức đúng)

~> đpcm