[toán 8]chứng minh bdt

[angellovedevilforever]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

câu 1:cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác thỏa mãn a<b<c
chứng minh rằng $a^3(b^2-c^2)$+$b^3(c^2-a^2)$+$c^3(a^2-b^2)$<0
câu 2:chứng minh rằng nếu $x^2$+$y^2$=1 thì -$\sqrt{2}$<x+y<$\sqrt{2}$
câu 3:cho 2 số x,y thỏa mãn 4x-6y=1.cmr:
$4x^2$+9y\geq8
câu 4:cho 2 số x,y.cmr:
a/nếu $x^2$+$y^2$=1 thì |x|+3y\leq $\sqrt{10}$
b/nếu x,y>0 và x+y=1thì
$(x+\frac1x)^2+(y+\frac1y)^2 $\geq$\frac{25}{2}$

 

[icy_tears]

Câu 2:
Ta có: $x^2 + y^2$ \geq $2xy$

\Leftrightarrow $1$ \geq $2xy$

\Rightarrow $(x + y)^2$ \leq $1 + 1 = 2$

\Leftrightarrow $\sqrt{(x + y)^2}$ \leq $\sqrt{2}$

\Leftrightarrow $|x + y|$ \leq $\sqrt{2}$

\Leftrightarrow $-\sqrt{2}$ \leq $|x + y|$ \leq $\sqrt{2}$

 

[vy000]

Câu 1sửa đề thành >0)
$a^3(b^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-b^2)$

$=a^3(b^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-c^2)+c^3(c^2-b^2)$

$=(b^2-c^2)(a^3-c^3)+(b^3-c^3)(c^2-a^2)$

$=(b-c)(a-c)(b+c)(a^2+ac+c^2)+(b-c)(c-a)(c+a)(b^2+bc+c^2)$

$=-(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca) >0$

Câu 2:
Áp dụng bunhia :

$(x+y)^2 \le 2(x^2+y^2)=2$

$-\sqrt[]{2} \le +y \le \sqrt[]{2}$

Câu 3:đề sai nớ,thử với $x=1,y=\dfrac12$

Câu 4:
$a)x^2+y^2=1$

$\Leftrightarrow|x|=\sqrt[]{1-y^2}$

$|x|+3y \le \sqrt[]{10} $

$\Leftrightarrow \sqrt[]{1-y^2} + 3y \le \sqrt[]{10} $

$\Leftrightarrow 0 \le \sqrt[]{1-y^2} \le \sqrt[]{10}-3y $

$\Leftrightarrow 1-y^2 \le 9y^2-6y\sqrt[]{10}+10$

$\Leftrightarrow 10y^2-6y\sqrt[]{10}+9 \ge 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt[]{10}y-3)^2 \ge 0$

b)Ta có:

$(x+\dfrac 1x)^2+(y+\dfrac1y)^2$

$ \ge \dfrac{(x+y+\dfrac1x+\dfrac1y)^2}2$

$ \ge \dfrac{(x+y+\dfrac4{x+y})^2}2$

$=\dfrac{5^2}2$

$=\dfrac{25}2$


ps:em dùng latex cũ đúng ko?chuyển sang latex mới đi