[Toán 8] Chứng minh BĐT sau

[braga]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số [TEX] a, b, c[/tex] biết [tex] ab+ bc+ ca= 1.[/TEX] và [TEX]a, b, c> 0[/TEX]

CMR: [TEX]\frac{\sqrt{a^{2}+ 1}+ \sqrt{b^{2}+ 1}}{\sqrt{c^{2}+ 1}}+ \frac{\sqrt{b^{2}+ 1}+ \sqrt{c^{2}+ 1}}{\sqrt{a^{2}+ 1}}+ \frac{\sqrt{a^{2}+ 1}+ \sqrt{c^{2}+ 1}}{\sqrt{b^{2}+ 1}}\ge 2\sqrt{3}[/TEX]

 

[bboy114crew]

Bài này không xảy ra dấu =!
Theo AM-GM và kết hợp với [TEX]a+b+c=1[/TEX]
Ta có:
[TEX]\sum \frac{\sqrt{{{a}^{2}}+1}+\sqrt{{{b}^{2}}+1}}{\sqrt{{{c}^{2}}+1}}= \sum \frac{\sqrt{(a+b)(a+c)}+\sqrt{(b+c)(b+a)}}{\sqrt{(c+b)(c+a)}}=\sum (\sqrt{\frac{a+b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b+a}{c+a}})[/TEX]
[TEX] \geq 6 > 2\sqrt{3}[/TEX]