[Toán 8] Chứng minh BĐT hay

[manhdn98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a=b+c+d$ Chứng minh:

$\frac{b}{a-b} + \frac{c}{a-c} + \frac{d}{a-d}$ \geq $\frac{3}{2}$


Lưu ý đặt tên tiêu đề: [Toán 8] Tiêu đề
Chú ý gõ tex~

 

[thaotb_98]

đây nè bạn ơi

thay a=b+c+d
như vậy ta phải đi chứng minh
b/(c+d)+ c/(b+d) + d/(b+c) \geq 3/2
đặt c+d=x; b+d=y; b+c=z
\Rightarrow
b= (-x+y+z)/2
c= (x-y+z) /2
d= (x+y-z)/2
sau đó bạn thay vào b/(c+d)+ c/(b+d) + d/(b+c)
sử dụng BĐT cô- si là chứng minh được đó mà

 

[thaiha_98]

Thay $a= b+c +d$ vào đầu bài ta được
$\frac{b}{c+d}$ + $\frac{c}{b+d}$ + $\frac{d}{b+c}$ \geq $\frac{3}{2}$
Ta có: $(x+y+z)$ $(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$ \geq 9 với x,y,z dương
Thật vậy:
$(x+y+z)$ $(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
= $ 1+ \frac{x}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{x} + 1 + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y} + 1$
= $3+ (\frac{x}{y}+\frac{y}{x}) + (\frac{x}{z}+\frac{z}{x}) + (\frac{y}{z}+\frac{z}{y})$ \geq 3+2+2+2 = 9
Áp dụng bất đẳng thức $(x+y+z)$ $(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$ \geq 9 trong đó x,y,z dương với x= c+d, y = b+d , z = b+c ta được:
$ 2(b+c+d)(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{b+d} + \frac{1}{b+c})$ \geq 9
\Rightarrow $ (b+c+d)(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{b+d} + \frac{1}{b+c})$ \geq 4,5
\Rightarrow $\frac{b+c+d}{c+d} + \frac{b+c+d}{b+d} + \frac{b+c+d}{b+c}$ \geq 4,5
\Rightarrow $\frac{b}{c+d} + 1$ + $\frac{c}{b+d} +1 $ + $\frac{d}{b+c} +1 $ \geq 4,5
\Rightarrow $\frac{b}{c+d}$ + $\frac{c}{b+d}$ + $\frac{d}{b+c}$ \geq 1,5 = $\frac{3}{2}$
Xảy ra đẳng thức \Leftrightarrow $a=b=c$