Toán Toán 8 Chứng minh bất đẳng thức

[Shin Nguyễn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho a,b>0. Tìm min: [tex]\frac{a+b}{\sqrt{a(4a+5b)}+\sqrt{b(4b+5a)}}[/tex]
2. Cho a,b,c>0. CMR:
[tex]\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(a+c)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3}}[/tex]
3. Cho x,y,a,b thuộc R và x^2+y^2=1; a+b=2
Tìm max A= ax+by+ab
4. Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Tìm max
P= [tex]\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}[/tex]
Mong mọi người giúp mình vì mình cần gấp ạ

 

[Ma Long]

1. Cho a,b>0. Tìm min: [tex]A=\frac{a+b}{\sqrt{a(4a+5b)}+\sqrt{b(4b+5a)}}[/tex]

Mong mọi người giúp mình vì mình cần gấp ạ

Bai giai: Ta co a,b>0
Ap dung BDT Cauchy-Schwarz.
[tex]\sqrt{a(4a+5b)}+\sqrt{b(4b+5a)}\leq \sqrt{(a+b)(4a+5b+4b+5a)}=\sqrt{9(a+b)^2}=3(a+b)[/tex]
Suy ra:
[tex]A\geq \frac{a+b}{3(a+b)}=\frac{1}{3}[/tex]
[tex]Min A=\frac{1}{3} \Leftrightarrow a=b[/tex]

4. Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Tìm max
P= [tex]\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}[/tex]

Bai giai:
Do a+b+c=1
Ta co:
[tex]c+ab=c(a+b+c)+ab=(c+a)(c+b)[/tex]
Suy ra
[tex]\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}= \sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}[/tex]
Ap dung BDT Cosi cho 2 so duong
[tex]\sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{1}{2}.(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b})[/tex]
Lam tuong tu ta duoc:
[tex]P\leq \frac{1}{2}.(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b})+\frac{1}{2}.(\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+c})+\frac{1}{2}.(\frac{c}{b+a}+\frac{a}{b+a})[/tex]
[tex]=\frac{1}{2}.(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a})=\frac{3}{2}[/tex]
Vay
[tex]MaxP=\frac{3}{2}[/tex]
Dau bang
[tex]a=b=c=\frac{1}{3}[/tex] docm

3. Cho x,y,a,b thuộc R và x^2+y^2=1; a+b=2
Tìm max A= ax+by+ab

Giai:
Ap dung BDT Cauchy-Schwarz
[tex]ax+by\leq \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)}=\sqrt{a^2+b^2}[/tex]
va
[tex]ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{4-(a^2+b^2)}{2}[/tex]
Suy ra:
[tex]A\leq \sqrt{a^2+b^2}+ab[/tex]
[tex]=\sqrt{a^2+b^2}+\frac{4-(a^2+b^2)}{2}[/tex]
[tex]=\frac{2\sqrt{a^2+b^2}+4-(a^2+b^2)}{2}=\frac{5-(\sqrt{a^2+b^2}-1)^2}{2}[/tex]
Ta co:
[tex]2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2=4\Rightarrow \sqrt{a^2+b^2}\geq \sqrt{2}[/tex]
Vay
[tex]A\leq \frac{5-(\sqrt{2}-1)^2}{2}=\frac{2+2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}+1[/tex]
Dau bang
[tex]a=b=1,x=y=\frac{1}{\sqrt2}[/tex]

 

[batman1907]

2. Cho a,b,c>0. CMR:
[tex]\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(a+c)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3}}[/tex]

Ta chứng minh:
$\sqrt{\dfrac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}\geq \dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
$\Leftrightarrow 2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}+c^{2})^{2}\geq a(b+c)^{3}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
$2(b^{2}+c^{2})\geq (b+c)^{2}\Leftrightarrow 8(b^{2}+c^{2})^{3}\geq (b+c)^{6}$
Theo AM-GM: $a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}+c^{2})^{2}\geq 2\sqrt{a^{2}(b^{2}+c^{2})^{3}}\geq a(b+c)^{3}$
Vậy ta có đpcm.
Cộng các bất đẳng thức vế theo vế ta được:
$\sum \sqrt{\dfrac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}\geq 1$

 

[Ma Long]

Ta chứng minh:
$\sqrt{\dfrac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}\geq \dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
$\Leftrightarrow 2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}+c^{2})^{2}\geq a(b+c)^{3}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
$2(b^{2}+c^{2})\geq (b+c)^{2}\Leftrightarrow 8(b^{2}+c^{2})^{3}\geq (b+c)^{6}$
Theo AM-GM: $a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}+c^{2})^{2}\geq 2\sqrt{a^{2}(b^{2}+c^{2})^{3}}\geq a(b+c)^{3}$
Vậy ta có đpcm.
Cộng các bất đẳng thức vế theo vế ta được:
$\sum \sqrt{\dfrac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}\geq 1$

Theo AM-GM: $2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}+c^{2})^{2}\geq 2\sqrt{2a^{2}(b^{2}+c^{2})^{3}}\geq a(b+c)^{3}$
Vậy ta có đpcm.

 

[Shin Nguyễn]

Bai giai: Ta co a,b>0
Ap dung BDT Cauchy-Schwarz.
[tex]\sqrt{a(4a+5b)}+\sqrt{b(4b+5a)}\leq \sqrt{(a+b)(4a+5b+4b+5a)}=\sqrt{9(a+b)^2}=3(a+b)[/tex]
Suy ra:
[tex]A\geq \frac{a+b}{3(a+b)}=\frac{1}{3}[/tex]
[tex]Min A=\frac{1}{3} \Leftrightarrow a=b[/tex]

Bạn cho mình hỏi bất đẳng thức bạn dùng chứng minh dạng tổng quát như thế nào ạ?

 

[Ma Long]

Dạng dùng ở bài này là:
[tex]ax+by\leq \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (ax+by)^2\leq (a^2+b^2)(x^2+y^2)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^2x^2+b^2y^2+2abxy\leq a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (ay-bx)^2\geq 0 dpcm[/tex]

Còn dạng tổng quát cho nhieu so thì bạn xem ở đây
http://math2it.com/12-cach-chung-minh-bat-dang-thuc-bunyakovsky-cauchy-schwarz/

 

[Shin Nguyễn]

Mong các bạn giúp mình với những bài sau, hướng dẫn cũng được ạ. Cảm ơn mọi người rất nhiều.
1. Cho a,b,c dương. CMR: [tex]\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ca}{ab^2+b^2c}+\frac{ab}{ac^2+bc^2}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/tex]
2. Cho a,b>0 thỏa mãn ab=1. Tìm min [tex]A= \frac{a^3}{1+b}+\frac{b^3}{1+a}[/tex]
3. Cho a,b,c dương. CMR:
a) [tex]\frac{a^4}{b+c}+\frac{b^4}{c+a}+\frac{c^4}{a+b}\geq \frac{1}{2}[/tex]
b) [tex]a^{5}+b^{5}+c^{5}\geq a^{2}b^{3}+b^{2}c^{3}+c^{2}a^{3}[/tex]
c) [tex]a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}\geq abc(ab^2+bc^2+ca^2)[/tex]
4. Cho A =(a+b)(b+c)(c+a), a,b,c dương và abc=1. CM [tex]A+1\geq 3(a+b+c)[/tex]
5.
a) Tìm max B= [tex]x^2(3-x)[/tex]
b) Cho a,b,c không âm và a+b+c=1. Tìm max
S= [tex]\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}[/tex]
c) Cho a,b,c dương và [tex]a+b+c\leq \frac{3}{2}[/tex]. Tìm min
S= [tex]a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/tex]
***Cho x+y=15. Tìm Max, Min
P= [tex]\sqrt{x-4}+\sqrt{y-3}[/tex]
Mình tìm được [tex]-4\leq P\leq 4[/tex] thì có đúng không? Và như vậy thì tìm dấu bằng như thế nào ạ?

Có ai giải thích giùm mình bất đẳng thức này được không ạ?

a) [tex](\frac{a^4}{b+c}+\frac{b^4}{c+a}+\frac{c^4}{a+b})[a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)]^2[/tex][tex]\geq (a^3+b^3+c^3)^2[/tex]

 

[Ma Long]

Có ai giải thích giùm mình bất đẳng thức này được không ạ?

Áp dụng BĐT Bunhiacopski
[tex](m^2+n^2+p^2)(x^2+y^2+z^2)\geq (mx+ny+cz)^2[/tex]
với
[tex]m=\dfrac{a^2}{\sqrt{b+c}}[/tex],[tex]n=\dfrac{b^2}{\sqrt{c+a}}[/tex],[tex]p=\dfrac{c^2}{\sqrt{a+b}}[/tex]
[tex]x=a\sqrt{b+c}[/tex],[tex]y=b\sqrt{c+a}[/tex],[tex]x=c\sqrt{a+b}[/tex]
ta đươc dpcm.