{Toán 8} Chứng minh bất đẳng thức!

[i_am_a_ghost]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài:
a) Chứng minh rằng: $a^4 + b^4$\geq$a^3b+ab^3$.
b) Chứng minh: $a(a+b)(a+c)(a+b+c)+b^2c^2$\geq$0$.
c) Chứng minh: $a^4+b^4+c^4$\geq$abc(a+b+c)$.
d) Chứng minh rằng: Nếu $xy+yz+xz=1$ thì $\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}=\frac{4xyz}{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)}$

 

[naruto2001]

câu a lưu ý: không biết làm talex và học lớp 8

cach1
Áp dụng bđt cô si (cauchy) cho 4 số dương :
a^4+a^4+a^4+b^4 \geq 4a^3.b
a^4+b^4+b^4+b^4\geq 4a.b^3
cộng vế hai bđt trên ta dc
4(a^4+b^4)\geq4ab(a+b)\Rightarrow đpcm
cách 2:
a^4 + b^4 \geq a^3.b + a.b^3
\Leftrightarrow a^3(a-b) - b^3(a-b) >=0
\Leftrightarrow (a^3-b^3).(a-b)\geq0
\Leftrightarrow (a-b)^2. (a^2+ab+b^2)\geq0
\Leftrightarrow (a-b)^2. [(a+1/2.b)^2+3/4.b^2]\geq 0
BĐT cuối cùng luôn luôn đúng nên suy ra BĐT đầu đúng
Chú ý: mình chưa học cauchy (co si) nhnugw mình đã học nên biết.!

 

[nice_vk]

Bài:
a) Chứng minh rằng: $a^4 + b^4$\geq$a^3b+ab^3$.
b) Chứng minh: $a(a+b)(a+c)(a+b+c)+b^2c^2$\geq$0$.
c) Chứng minh: $a^4+b^4+c^4$\geq$abc(a+b+c)$

$a^4+b^4+c^4$\geq$abc(a+b+c)$
Áp dụng Cauchy:
$a^4 + b^4$\geq$2a^2b^2$
$b^4 + c^4$\geq$2b^2c^2$
$a^4 + c^4$\geq$2a^2c^2$

=> $2a^4 + 2b^4 + 2c^4$\geq$2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2)$
<=> $a^4 + b^4 + c^4$\geq$a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2$ (1)
Áp dụng Cauchy lần nữa ta có:
$a^2b^2 + b^2c^2 = b^2 (a^2 +c^2)$\geq$ b^2(2ac) $
$b^2c^2 + a^2c^2 = c^2 (b^2 + a^2) $\geq$ a^2(2bc) $

=> $2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2) $\geq$ 2[b^2(ac) + c^2(ba) + a^2(bc)] $
<=>$ a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 $\geq$ b^2(ac) + c^2(ba) + a^2(bc) $
<=> $\geq$ abc ( b + c + a) (2)
từ (1) và (2) =>