[Toán 8] Chứng minh bất đẳng thức

M

minsstar

H

huynhbachkhoa23

Ta có bổ đề sau:
Nếu $a,b,c$ và $x,y,z$ là các số không âm thỏa mãn $a\ge b\ge c$ và $x\le y\le z$ thì $x(a-b)(a-c)+y(b-c)(b-a)+z(c-a)(c-b)\ge 0$
Thật vậy: $x(a-b)(a-c)+y(b-c)(b-a)+z(a-c)(b-c)=x(a-b)(a-c)+(b-c)[z(a-c)-y(a-b)]\ge (a-b)(b-c)(z-y)\ge 0$


Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\dfrac{(a-b)(a-c)}{a^3+abc}+\dfrac{(b-c)(b-a)}{b^3+abc}+\dfrac{(c-a)(c-b)}{c^3+abc}\ge 0$
Giả sử $a\ge b\ge c$ và đặt $x=\dfrac{1}{a^3+abc}, y=\dfrac{1}{b^3+abc}, z=\dfrac{1}{c^3+abc}$ thì ta cần chứng minh:
$x(a-b)(a-c)+y(b-c)(b-a)+z(c-a)(c-b)\ge 0$
Bất đẳng thức này đúng vì $a\ge b\ge c\to x\le y\le z$
 
T

thuyanh_tls1417


Xét

$VP-VT=\dfrac{(a-b)(a-c)}{a^3+abc}+\dfrac{(b-c)(b-a)}{b^3+abc}+\dfrac{(c-a)(c-b)}{c^3+abc}$

Giả sử $a \ge b \ge c >0$

Khi đó $\dfrac{(a-b)(a-c)}{a^3+abc}+\dfrac{(b-c)(b-a)}{b^3+abc}+\dfrac{(c-a)(c-b)}{c^3+abc} \ge \dfrac{(a-b)(a-c)}{a^3+abc}+\dfrac{(b-c)(b-a)}{c^3+abc}+\dfrac{(c-a)(c-b)}{c^3+abc}$

$\ge \dfrac{(a-b)(a-c)}{a^3+abc}+\dfrac{(b-c)^2}{c^3+abc} \ge 0$

\Leftrightarrow $VP \ge VT$

Ta có đpcm

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

 
H

huynhbachkhoa23

thuyanh_tls1417 said:

Xét

$VP-VT=\dfrac{(a-b)(a-c)}{a^3+abc}+\dfrac{(b-c)(b-a)}{b^3+abc}+\dfrac{(c-a)(c-b)}{c^3+abc}$

Giả sử $a \ge b \ge c >0$

Khi đó $\dfrac{(a-b)(a-c)}{a^3+abc}+\dfrac{(b-c)(b-a)}{b^3+abc}+\dfrac{(c-a)(c-b)}{c^3+abc} \ge \dfrac{(a-b)(a-c)}{a^3+abc}+\dfrac{(b-c)(b-a)}{c^3+abc}+\dfrac{(c-a)(c-b)}{c^3+abc}$

$\ge \dfrac{(a-b)(a-c)}{a^3+abc}+\dfrac{(b-c)^2}{c^3+abc} \ge 0$

\Leftrightarrow $VP \ge VT$

Ta có đpcm

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Em làm ở trên rồi mà :|
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom