Trước hết ta cm BĐT phụ: Với n thuộc N* ta luôn có:
2($\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$)<$\frac{1}{\sqrt{n}}$<2($\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$
Thật vậy:
2($\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$=$\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$<$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$ (1)
2($\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$)=$\frac{2}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}$>$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$ (2)
Từ (1) và (2)\Rightarrowđpcm
Áp dụng vào bài toán ta đk:
$\frac{1}{\sqrt{2}}$<2($\sqrt{2}$-$\sqrt{1}$) ; $\frac{1}{\sqrt{3}}$<2($\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$)
Tương tự như vậy ta sẽ có: P<2($\sqrt{100}$-$\sqrt{99}$+$\sqrt{99}$-$\sqrt{98}$+...+$\sqrt{2}$-$\sqrt{1}$)
\LeftrightarrowP<2($\sqrt{100}$-$\sqrt{1}$)=2.9=18 (3)
$\frac{1}{\sqrt{2}}$>2($\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$); $\frac{1}{\sqrt{3}}$>2($\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$)
Tương tự như vậy ta sẽ có P>2($\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+...+$\sqrt{101}$-$\sqrt{100}$)
\LeftrightarrowP>2($\sqrt{101}$-$\sqrt{2}$)>2($\sqrt{100}$-$\sqrt{\frac{9}{4}}$)
\LeftrightarrowP>2(10-$\frac{3}{2}$)=17 (4)
Từ (3) và (4)\Rightarrow17<P<18
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn