[Toán 8] Chứng minh bất đẳng thức

[depvazoi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a+b \ge 2$. Chứng minh: $a^4 + b^4 \ge a^3 + b^3$

 

[pe_lun_hp]

. Ngồi tự kĩ mãi mới ra

Đặt $a=1+x \ \ ; \ \ b=1+y$

TĐB : $a+b \ge 2 \Rightarrow x+y \ge 0$

Ta cần chứng minh :

$(1+x)^{4}+(1+y)^{4} \ge (1+x)^{3}+(1+y)^{3}$

$\Leftrightarrow x(1+x)^{3}+y(1+y)^{3} \geq 0$

$\Leftrightarrow x^{4}+y^{4}+3(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+3(x^{2}+y^{2})+x+y \geq 0$

$\Rightarrow \text{đpcm vì} \ \ \ \ x+y \ge 0$

 

[conga222222]

$\eqalign{
& {\mathop{\rm cosi}\nolimits} \cr
& {a^4} + 1 + 1 + 1 \ge 4\left| a \right| \ge 4a \cr
& {a^4} + {a^4} + {a^4} + 1 \ge 4\left| {{a^3}} \right| \ge 4{a^3} \cr
& \to 4{a^4} + 4 \ge 4{a^3} + 4a \leftrightarrow {a^4} \ge {a^3} + a - 1 \cr
& tuong\;tu \cr
& {b^4} \ge {b^3} + b - 1 \cr
& \to {a^4} + {b^4} \ge {a^3} + {b^3} + a + b - 2 \ge {a^3} + {b^3} \cr
& dau = \leftrightarrow a = b = 1 \cr} $