(Toán 8) Chứng minh bất đẳng thức.

[trantuong99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a) a^2+b^2\geq ab
b) x^2+xy+y^2\geq 0
c) a(a+b)(a+c)(a+b+c)+b^2c^2\geq 0
d) a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca
e) a^2+b^2+c^2 > (a+b+c)^2:3

 

[yumi_26]

b) x^2+xy+y^2\geq 0

$x^2 + xy + y^2 = (x^2 + 2.\dfrac{1}{2}xy + \dfrac{1}{4}y^2) + \dfrac{3}{4}y^2 = (x+\dfrac{1}{2}y)^2+\dfrac{3}{4}y^2 > 0$ \forall $x,y$

d) a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca

Ta có:
$a^2 + b^2 \geq 2ab$
$b^2 + c^2 \geq 2bc$
$c^2 + a^2 \geq 2ac$
Cộng vế theo vế ta đc:
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 \geq 2ab + 2bc + 2ac$
$\Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ac$

 

[elf_1999]

Bài giải câu a

Ta có a^2+b^2 \geq ab
\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2) \geq ab-2ab
\Leftrightarrow (a-b)^2 \geq -ab (luôn đúng)

 

[01278543524]

Tl

a) a^2+b^2\geq ab
c) a(a+b)(a+c)(a+b+c)+b^2c^2\geq 0

[tex]2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2}-2ab-2ac-2bc \geq 0[/tex]
[tex](a^{2} -2ab +b^{2}) + (a^{2} -2ac +c^{2}) + (b^{2} -2bc + c^{2}) \geq0[/tex]
[tex](a-b)^{2} + (a-c)^{2} + (b-c)^{2} \geq 0[/tex]
BĐT cuối đúng => cái đầu tiên đúng

 

[1um1nhemtho1]

zzzzzzzzzzzzz

c) a(a+b)(a+c)(a+b+c)+b^2c^2\geq 0

$a(a+b)(a+c)(a+b+c)+b^2c^2 = [a(a+b+c)][(a+b)(a+c)] + b^2c^2= (a^2+ab+ac)(a^2+ab+ac+bc) + b^2c^2$.
đặt $a^2+ab+ac=x$, $bc=y$.
=> $(a^2+ab+ac)(a^2+ab+ac+bc)$ + $b^2c^2= x(x+y)+y^2=x^2+xy+y^2= (x+\frac{1}{2}.y)^2 + \frac{3}{4}.y^2$ \geq 0 => ĐPCM.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=0$ <=> $a=b=0$ hoặc $a=c=0$

 

[1um1nhemtho1]

*******ddd

Ta có a^2+b^2 \geq ab
\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2) \geq ab-2ab
\Leftrightarrow (a-b)^2 \geq -ab (luôn đúng)

Đề bài không cho $a,b$ \geq 0 để $(a-b)^2$ \geq $0$ và $-ab $\leq $0$ để suy ra được $(a-b)^2 $\geq $-ab$ nên mình nghĩ chắc bạn nhầm lẫn nào đó ở đây
bài này thì mình nghĩ là làm theo cách này: $a^2+b^2 $\geq $ab $ <=> $ (a-\frac{1}{2}.b)^2+\frac{3}{4}.b^2 $\geq $0$ ( cái này thì luôn đúng rồi )

 

[vipboycodon]

e) $a^2+b^2+c^2 \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{3}$
<=> $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$
<=> $3a^2+3b^2+3c^2-a^2-b^2-c^2-2ab-2ac-2bc \ge 0 $
<=> $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge 0$ (đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c$.