[Toán 8] Chứng minh bất đẳng thức

[myduyen_98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giúp mình mấy bài này với
Chứng minh các bất đẳng thức:
a) [TEX](\frac{a+b}{2})^2 \geq ab[/TEX]
b) [TEX](\frac{a+b+c+d}{4})^2 \geq abcd[/TEX] với a, b, c, d [TEX]\geq[/TEX]0
c) [TEX](\frac{a+b+c}{3})^3 \geq abc[/TEX] với a, b, c [TEX]\geq[/TEX]0

 

[vinhthanh1998]

Giúp bạn đây

a) [TEX](\frac{a+b}{2})^2 \geq ab[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\frac{(a+b)^2}{4} \geq \frac{4ab}{4}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](a+b)^2 \geq 4ab[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](a+b)^2 -4ab \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]a^2+2ab+b^2-4ab \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]a^2-2ab+b^2 \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](a-b)^2 \geq 0[/TEX]
Bất đẳng thức cuối cùng là đúng. Mà các phép biến đổi trên tương đương nhau nên [TEX](\frac{a+b}{2})^2 \geq ab[/TEX] là đúng
b) Đặt m=a+b, n=c+d
Theo câu a), ta có:
[TEX](\frac{m+n}{2})^2 \geq mn[/TEX]
Do m, n >0 nên [TEX](\frac{m+n}{2})^4 \geq m^2n^2[/TEX] (1)
Mặt khác: [TEX]\left{\begin{m^2=(a+b)^2 \geq 4ab (2)}\\{n^2=(c+d)^2 \geq 4cd (3)}[/TEX]
Do a, b, c, d [TEX]\geq 0[/TEX] nên nhân (2) với (3) ta được [TEX]m^2n^2 \geq 16abcd[/TEX] (4)
Từ (1) và (4) suy ra: [TEX](\frac{m+n}{2})^2 \geq 16abcd[/TEX]
Vậy [TEX](\frac{m+n}{4})^4 \geq abcd[/TEX]
Hay [TEX](\frac{a+b+c+d}{4})^4 \geq abcd[/TEX]
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi m=n, a=b, c=d hay a=b=c=d

 

[minhtuyb]

BĐT thứ 3 chỉ đúng khi [TEX]a,b,c[/TEX] không âm. Bạn c/m theo BĐT Cô si nhé