[Toán 8] Chứng minh bất đẳng thức

[tunghp1998]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [TEX]0 \leq a,b,c\leq1[/TEX]

CMR: [TEX]a+b^2+c^3-ab-bc-ca\leq1:)>-[/TEX]

 

[tuyn]

Cho [TEX]0 \leq a,b,c\leq1[/TEX]

CMR: [TEX]a+b^2+c^3-ab-bc-ca\leq1:)>-[/TEX]

Do 0 \leq a,b,c \leq 1 \Rightarrow [TEX]b \geq b^2,c \geq c^3[/TEX]
Ta có:
[TEX](1-a)(1-b)(1-c) \geq 0 \Leftrightarrow 1-(a+b+c)+ab+bc+ca-abc \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 1-abc \geq a+b+c-(ab+bc+ca)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a+b^2+c^3-(ab+bc+ca) \leq a+b+c-(ab+bc+ca) \leq 1-abc \leq 1[/TEX]
\Rightarrow điều phải chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi (a;b;c)=(1;0;0),(1;1;0) hoặc các hoán vị

 

[braga]

Cách khác:

Do giả thiết [TEX]a,b,c\in [0;1][/TEX] nên ta có:
[TEX]a+b^2+c^3-ab-bc-ca-1\le a+b+c-ab-bc-ca-1\le abc+a+b+c-ab-bc-ca-1=(a-1)(b-1)(c-1)\le 0[/TEX](đúng)

Dấu "=" xảy ra [TEX]\Leftrightarrow (a,b,c) \in \{(0;0;1);(0;1;0);(1;0;0)\}[/TEX]

Nguồn: Mathscope