[Toán 8] Chứng minh bất đẳng thức

[archdz]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài này mình đọc trong đề thi Q1 thì phải.. thấy hay hay mà mò mãi k ra..


[TEX]4x - y = 1[/TEX]
chứng minh rằng

[TEX]4x^2 + y^2 \geq \frac{1}{5}[/TEX]

 

[hoa_giot_tuyet]

Bài này mình đọc trong đề thi Q1 thì phải.. thấy hay hay mà mò mãi k ra..


[TEX]4x - y = 1[/TEX]
chứng minh rằng

[TEX]4x^2 + y^2 \geq \frac{1}{5}[/TEX]

Bunhiacốpxki ( ko bik viết đúng ko nựa =)))
[TEX] (4x-y)^2 \leq (4+1)(4x^2+y^2) \Rightarrow 5(4x^2+y^2) \geq 1 \Rightarrow dpcm[/TEX]

 

[shayneward_1997]

Quá dễ!
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia:
[TEX](2^{2}+(-1)^{2})(4x^{2}+y^{2})\geq(2.2x-y)^{2}[/TEX]
\Rightarrowđpcm

 

[archdz]

cái này dz hổg hiểu lắm >< mấy bạn giải thích ra đc hôg

 

[shayneward_1997]

thế này:
Bất đẳng thức Bunhiaxcopki
[TEX](x^{2}+y^{2})(a^{2}+b^{2})\geq(ax+by)^{2}[/TEX]
Thay x=2;y=-1;a=2x;b=y vào là ra.

 

[archdz]

hic bạn ơi truờng mình chưa học cái bdt bunyakovsky :<

bạn có thể giải thích và ghi đầy đủ ra đc k :<

 

[hoa_giot_tuyet]

Với 2 bộ số bất kỳ (a,b) và (x,y) ta luôn có (tớ chỉ nói 2 số thôi nhé chứ cũng có trường hợp 3 hay nhìu số nữa)

[TEX](a^2+b^2)(x^2+y^2) \geq (ax+by)^2[/TEX]

Dấu = xảy ra khi ay = bx

Chứng minh: Xét hiệu [TEX](a^2+b^2)(x^2+y^2) - (ax+by)^2[/TEX]
[TEX]= a^2x^2+a^y^2 + b^2x^2+b^2y^2 - a^2x^2 - 2axby - b^2y^2[/TEX]
[TEX]= a^2y^2-2axby + b^2x^2[/TEX]
[TEX]= (ay-bx)^2 \geq 0[/TEX]

 

[saratencradi]

giúp tớ cmr : [TEX]\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2} \geq \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}[/TEX]
ai làm đc tớ cảm ơn nhiều

Chú ý latex

 

[quynhnhung81]

giúp tớ cmr : [TEX]\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2} \geq \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}[/TEX]
ai làm đc tớ cảm ơn nhiều

Chú ý latex

Phải có điều kiện của a,b,c chứ bạn, bài này nhìn thấy rồi, đây nè
Thay a,b,c là x,y,z là xong

[TEX]AD \ BDT: 3(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2[/TEX] ta có:

[TEX]3(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}) \geq (\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})^2 \ \ \ (1)[/TEX]
mà \[TEX]\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \geq 3[/TEX] (bđt côssi)
Nhân cả 2 vế với [TEX]\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}>0[/TEX] ta có
[TEX](\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})^2 \geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}) \ \ \ (2) [/TEX]
Từ (1) và(2) suy ra đpcm.

 

[hoa_giot_tuyet]

giúp tớ cmr : [TEX]\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2} \geq \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}[/TEX]
ai làm đc tớ cảm ơn nhiều

Chú ý latex

@Nhugn: mắt mũi để đâu nhìn nhầm kìa :|

Bài này k cần đk

Áp dụng BĐT [TEX]a^2+b^2 \geq 2ab[/TEX] ta có
[TEX] \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} \geq 2\frac{a}{c}[/TEX]

Tương tự [TEX]\frac{b^2}{c^2} + \frac{c^2}{a^2} \geq 2\frac{b}{a}[/TEX]
[TEX] \frac{c^2}{a^2} + \frac{a^2}{b^2} \geq 2\frac{c}{a}[/TEX]

Cộng 3 cái lại là ok

 

[locxoaymgk]

Bài này mình đọc trong đề thi Q1 thì phải.. thấy hay hay mà mò mãi k ra..


[TEX]4x - y = 1[/TEX]
chứng minh rằng

[TEX]4x^2 + y^2 \geq \frac{1}{5}[/TEX]

Cahcs khác: Cách này không quá cầu kì mà áp dụng trong nhiều Th:
Từ [TEX] 4x-y=1 [/TEX]\Rightarrow[TEX] y=4x-1[/TEX]
Thay vào[TEX] 4x^2+y^2 [/TEX]ta có:
[TEX] 4x^2+(4x-1)^2=20x^2+8x+1=20(x^2+2.x.\frac{1}{5}+\frac{1}{25})+\frac{1}{5}=20(x+\frac{1}{5})^2+\frac{1}{5}\geq \frac{1}{5}[/TEX]
Cách này có được không?

 

[oliverwooddeptrai]

Mình cũng có vài bài chứng minh đây:
CMR:nếu tích của 3 số dương=1;còn tổng của ba số đó lớn hơn tổng các nghịch đảo của chúng thì trong ba số đó có đúng 1 số >1
Bài này cũng đơn giản,chúc các bạn học tốt

 

[thienlong_cuong]

Mình cũng có vài bài chứng minh đây:
CMR:nếu tích của 3 số dương=1;còn tổng của ba số đó lớn hơn tổng các nghịch đảo của chúng thì trong ba số đó có đúng 1 số >1
Bài này cũng đơn giản,chúc các bạn học tốt

tức có phải là
abc = 1
[TEX]a + b + c > \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}[/TEX]

p/s : Có 2 phương pháp , 1 cái phản chứng , 1 cái chứng minh trực tiếp !

Bạn đưa về dạng
(a -1)(b -1)(c -1) < 0
Cái này đúng \Leftrightarrow trong 3 số a , b, c phỉa có 1 số > 1
Có lẽ bạn sẽ nói tại sao lại như vậy , nếu cả 3 nhân tử âm thì sao !? Tức cả a , b ,c < 1
Vậy thì a +b + c sẽ chẳng thể bằng 3 !

 

[khanhtoan_qb]

Mình cũng có vài bài chứng minh đây:
CMR:nếu tích của 3 số dương=1;còn tổng của ba số đó lớn hơn tổng các nghịch đảo của chúng thì trong ba số đó có đúng 1 số >1
Bài này cũng đơn giản,chúc các bạn học tốt

Ta có : gọi 3 số đó là a, b , c ta có abc = 1
[TEX]a + b + c > \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]a + b + c - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} - \frac{1}{c} > 0[/TEX]
nhân cả hai vế cho abc có
[TEX]a + b + c - ab - bc - ca > 0[/TEX]
[TEX]abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1 > 0[/TEX]
[TEX](c - 1)(ab - a - b + 1) > 0[/TEX]
[TEX](c - 1)(a - 1)(b - 1) > 0[/TEX]
\Rightarrow c - 1 > 0 hoặc a - 1 > 0 hoặc b - 1 > 0 \Rightarrow đpcm

nhớ thanks nghe bạn