[Toán 8]chứng minh bất đẳng thức

[mylinh998]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác, chứng minh:

[TEX]a^3 + b^3 + c^3 + 3abc > ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c)[/TEX]

 

[khanhtoan_qb]

Mình giúp bạn giải nha
Giả sử c>=b>=c>=0 thi ta co:
c(a-c)(b-c)>=0
=>c^3+abc>ac^2+ bc^2
Ta cần chứng minh a^3 + b^3 + 2abc >= ab(a +b)+ cb^2 + ca^2
Bất đẳng thức này tương đương với
(a-b)^2(a+b-c)>= (bat dang thuc nay lon luon dung)
=> dpcm
(thong cam cho tui, cai may cua tui do chung nen tui tra loi cho ban khong co dau.)

~> Kiểm tra lại Vietkey để viết có dấu nha bạn

 

[01263812493]

cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác, chứng minh:

[TEX]a^3 + b^3 + c^3 + 3abc > ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c)[/TEX]

Cái này phải là dấu lớn hơn hoặc bằng nhe chú em
Ta xét cái hiệu:
[TEX]\blue ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) -a^3-b^3-c^3-2abc[/TEX]
[TEX]\blue = a(ab+ac-a^2-bc)+b(ab+bc-b^2-ac)+c^2(a-c+b)[/TEX]
[TEX]\blue =a(a-c)(b-a)+b(b-c)(a-b)+c^2(a-c+b)[/TEX]
[TEX]\blue = (a-b)(b^2-bc-a^2+ac)+c(a-c+b)[/TEX]
[TEX]\blue =(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)[/TEX]

Mà ta luôn có:
[TEX]\blue (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc[/TEX]

Cái BDT này, ta chú ý:
[TEX]\blue \left{a^2-(b-c)^2=(a-b+c)(a+b-c) \leq a^2\\ b^2-(a-c)^2=(b-a+c)(b+a-c) \leq b^2\\ c^2-(a-b)^2=(c-a+b)(c+a-b) \leq c^2[/TEX]
Nhân lại được cái BDT trên

[TEX]\blue \rightarrow ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) -a^3-b^3-c^3-2abc \leq abc \Rightarrow dpcm[/TEX]