[Toán 8] Chứng minh $a=b=c$

[deadguy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng $a=b=c$
nếu $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=3(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$

 

[transformers123]

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=3(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$\iff 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=3a^2+3b^2+3c^2-3ab-3bc-3ca$

$\iff a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$

$\iff \dfrac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]=0$

$\iff \begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases} \iff a=b=c$

 

[pinkylun]

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=3(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$

$=>a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2-3a^2-3b^2-3c^2+3ab+3bc+3ac=0$

$=>-a^2-b^2-c^2+ab+bc+ac=0$

bình phương cả hai vế ta đc:

$-2a^2-2b^2-2c^2+2ab+2bc+2ac=0$

hay $2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$

$=>(a-b)^2+(b-c)^2-(a-c)^2=0$

mỗi số hạng trên đều \geq 0 mà có tổng =0 nên mỗi số bằng 0

$=>a=b=c$