[Toán 8] Chứng minh a = b = c = d

[hoamattroi_3520725127]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đề bài : Chứng minh rằng nếu $a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd$ và a,b,c,d là các số dương thì a = b = c = d.

 

[delta_epsilon]

Đề bài : Chứng minh rằng nếu $a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd$ và a,b,c,d là các số dương thì a = b = c = d.

Đây chính là điều kiện để dấu bằng xảy ra khi áp dụng bđt côsi cho 4 số dương $a^4,b^4,c^4,d^4$ mà
$a^4+b^4+c^4+d^4$ \geq 4$\sqrt[4]{a^4.b^4.c^4.d^4}$ = 4abcd
Dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow $a^4=b^4=c^4=d^4$
Vì a, b, c, d là các số dương \Rightarrow a = b = c = d

 

[huuthuyenrop2]

$a^4+b^4+c^4 + d^4= 4abcd$
\Rightarrow$ a^4 - 2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4+2a^2b^2-4abcd+2c^2d^2$=0
\Rightarrow $(a^2 - b^2)^2 + (c^2-d^2)^2 + 2(ab-cd)^2$ =0
Tới đây thì có thể suy ra a=b=c=d

 

[hoamattroi_3520725127]

Đây chính là điều kiện để dấu bằng xảy ra khi áp dụng bđt côsi cho 4 số dương $a^4,b^4,c^4,d^4$ mà
$a^4+b^4+c^4+d^4$ \geq 4$\sqrt[4]{a^4.b^4.c^4.d^4}$ = 4abcd
Dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow $a^4=b^4=c^4=d^4$
Vì a, b, c, d là các số dương \Rightarrow a = b = c = d

Em chưa được học BĐT AMGM
Anh/chị làm cách khác được không ?

 

[hoamattroi_3520725127]

$a^4+b^4+c^4 + d^4= 4abcd$
\Rightarrow$ a^4 - 2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4+2a^2b^2-4abcd+2c^2d^2$=0
\Rightarrow $(a^2 - b^2)^2 + (c^2-d^2)^2 + 2(ab-cd)^2$ =0
Tới đây thì có thể suy ra a=b=c=d

Bạn giải giống hệt phần đáp án cuối sách =))

Mình đang cần chứng minh ý này :
Nếu $(a^2 - b^2)^2 + (c^2 - d^2)^2 + 2(ab - cd)^2 = 0$ thì a = b = c = d với a,b,c,d > 0.

 

[delta_epsilon]

Bạn giải giống hệt phần đáp án cuối sách =))

Mình đang cần chứng minh ý này :
Nếu $(a^2 - b^2)^2 + (c^2 - d^2)^2 + 2(ab - cd)^2 = 0$ thì a = b = c = d với a,b,c,d > 0.

Tổng các bình phương này bằng 0 chỉ khi các bình phương trong tổng đồng thời bằng 0:
$(a^2 - b^2)^2 + (c^2 - d^2)^2 + 2(ab - cd)^2 = 0$
\Leftrightarrow $(a^2 - b^2)^2=0$ và $(c^2 - d^2)^2=0$ và $2(ab - cd)^2 = 0$
\Leftrightarrow $a^2=b^2$ và $c^2=d^2$ và $ab=cd$
a,b,c,d > 0 \Rightarrow $a=b$, $c=d$ và $a^2=c^2$ hay $a=c$
theo tính chất bắt cầu thì a = b = c = d