[Toán 8] Chứng minh $5 \nmid a^2+ab+b^2$

[harrypham]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng nếu $a,b$ không chia hết cho $5$ thì $a^2+ab+b^2$ cũng không chia hết cho $5$.

 

[thinhso01]

Mình giải như thế nào không biết có đúng không
Ta có a$\not{\vdots }$5 và b $\not{\vdots }$5
\Rightarrowa+b$\not{\vdots }$5
Ta lại có ${{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}$ =$a(a+b)+{{b}^{2}}$
Mà trong đó ta có a,(a+b) đều không chia hết cho 5,b cũng vậy nên $\not{\vdots }$5
\Rightarrow Biểu thức không chia hết cho 5

có bạn nào có cách giải khác hông post lên cho mình tham khảo

 

[harrypham]

Mình giải như thế nào không biết có đúng không
Ta có a$\not{\vdots }$5 và b $\not{\vdots }$5
\Rightarrowa+b$\not{\vdots }$5
Ta lại có ${{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}$ =$a(a+b)+{{b}^{2}}$
Mà trong đó ta có a,(a+b) đều không chia hết cho 5,b cũng vậy nên $\not{\vdots }$5
\Rightarrow Biểu thức không chia hết cho 5

Lời giải này không đúng. Hai số không chia hết cho $5$ thì tổng của chúng cũng có thể chia hết cho $5$.
Lấy ví dụ: $3+2=5$ thì $3,2$ không chia hết cho $5$ nhưng tổng lại chia hết cho $5$.
Bạn sai ở chỗ suy ra $a+b$ không chia hết cho $5$.

 

[hthtb22]

Bổ đề : Một số tự nhiên khi chia cho 5 sẽ có các số dư Thuộc {0;1;4}
Thật vậy
Gọi r là số dư của số a bất kỳ cho 5 ta có:
$$a^2=(5k+r)^2= 25k^2+10kr+r^2$$
r=0 \Rightarrow [tex]a^2[/tex] chia 5 dư 0
r=1 \Rightarrow [tex]a^2[/tex] chia 5 dư 1
r=2 \Rightarrow [tex]a^2[/tex] chia 5 dư 4
r=3 \Rightarrow [tex]a^2[/tex] chia 5 dư 4
r=4 \Rightarrow [tex]a^2[/tex] chia 5 dư 1
Vậy bổ đề được cm

Trở lại bài toán
Đặt $$A=a^2+ab+b^2$$
[tex] \Rightarrow 4A=4a^2+4ab+4b^2=(2a+b)^2+3b^2[/tex]
b không chia hết cho 5 nên [tex]b^2[/tex] chia 5 dư1 hoặc4
\Rightarrow [tex]3b^2[/tex] chia 5 dư 3 hoặc 2
Mà [tex](2a+b)^3[/tex] chia 5 dư 0;1;4
Nên tổng không chia hết cho 5
\Rightarrow đpcm