[Toán 8] chứng minh 4

[long09455]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b,c thoả mãn [TEX]a^3-b^2-b=b^3-c^2-c=c^3-a^2-a = \frac{1}{3}[/TEX]
Chứng minh a-b=c

 

[mrsimper]

từ $a^3-b^2-b= b^3-c^2-c=c^3-a^2-a= \dfrac{1}{3}$. ta có hệ pt sau đây:
$3a^3-3b^2-3b=1$ (1)
$3b^3-3c^2-3c=1$(2)
$3c^3-3a^2-3a=1$(3)
do vai trò bình đẳng trong hoán vị vòng quanh của a,b,c ta giả sử a= max(a;b;c). Ta xét 2 trường hợp:
* a\geqb\geqc
-từ (1) ta có $3a^3-3b^2-3b=1$ \geq$3a^3-3a^2-3a$ ( vì a\geqb)
=> $3a^3-3a^2-3a-1$\leq0
=> $3a^3$\leq$3a^2+3a+1$
=> $4a^3$\leq $(a+1)^3$ \Rightarrow a.$\sqrt[3]{4}$\leq$a+1$
=> a<= $\dfrac{1}{( \sqrt[3]{4} -1)}$ (4)
- từ (3) ta có $3c^3-3a^2-3a=1$ \leq $3a^3-3c^2-3c$ ( vì c\leqa)
=> $3c^3-3c^2-3c -1$\geq0
=> $3c^3$ \geq $3c^2+3c +1$
=> $4c^3$\geq $(c+1)^3$ =>$c.\sqrt[3]{4}$ \geq $c+1$
=> $c\geq$\dfrac{1}{( \sqrt[3]{4}-1)}$ (5)
từ (4)(5) và (*) => a=c => a=b=c
** a\geqc\geqb lập luận tương tự
=> a=b=c
Vậy ta có đpcm.