[Toán 8] Chứng minh $(1+\frac{a}{b})^m +(1+\frac{b}{a})^m\geq 2^{m+1}$

[hellangel98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bai 1:dùng cosi
a/cho $a,b>0$.Chứng minh $(1+\frac{a}{b})^m +(1+\frac{b}{a})^m\geq 2^{m+1}$
b/chứng minh $a^1995>1995(a-1)$ với $a>0$
c/cho x>y>0.chứng minh $x+ \frac{1}{(x-y)y} \geq 3$
bai 2:dùng bunhiacopxki
a/cho $3a-4b=7$.chứng minh $3a^2+4b^2\geq7 $

b/cho $2a-3b=7$.chứng minh $3a^2+5b^2\geq \frac{725}{47}$

c/cho $3a-5b=8$.chứng minh $7a^2+11b^2\geq \frac{2464}{137}$
@minhtuyb: Chú ý latex

 

[vansang02121998]

[tex]a) 7^2=(\sqrt{3}.\sqrt{3}a-2.2b)^2 \leq (\sqrt{3}^2+2^2)(3a^2+4b^2)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 49 \leq 7(3a^2+4b^2)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 3a^2+4b^2 \geq 7[/tex]



[tex]b) 7^2=(\frac{2}{\sqrt{3}}.\sqrt{3}a-\frac{3}{\sqrt{5}}.\sqrt{5}b)^2 \leq (\frac{2^2}{\sqrt{3}^2}+\frac{3^2}{\sqrt{5}^2})(3a^2+5b^2)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 49 \leq \frac{47}{15}(3a^2+5b^2)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 3a^2+5b^2 \geq \frac{735}{47}[/tex]



[tex]c) 8^2=(\frac{3}{\sqrt{7}}.\sqrt{7}a-\frac{5}{\sqrt{11}}.\sqrt{11}b)^2 \leq (\frac{3^2}{\sqrt{7}^2}+\frac{5^2}{\sqrt{11}^2})(7a^2+11b^2)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 64 \leq \frac{274}{77}(7a^2+11b^2)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 7a^2+11b^2 \geq \frac{2464}{137}[/tex]

 

[son9701]

Lời giải cho 3 bài dùng cô-si:

a/ [TEX](1+\frac{a}{b})^m + (1+\frac{b}{a})^m \geq 2^m.(\sqrt{\frac{a}{b}})^m+ 2^m.(\sqrt{\frac{b}{a}})^m = 2^m(\sqrt{\frac{a^m}{b^m}}+\sqrt{\frac{b^m}{a^m}}) \geq 2^m.2 =2^{m+1}[/TEX]

b/Áp dụng cô-si cho 1995 số k âm:

[TEX]a^{1995}+1994= a^{1995}+1+1+1....+1 \geq 1995a[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a^{1995} \geq 1995a-1994 > 1995a-1995 = 1995(a-1)[/TEX]

c/Áp dụng cô-si 3 số:
[TEX]x+\frac{1}{y(x-y)}=y+(x-y)+\frac{1}{y(x-y)} \geq 3\sqrt[3]{y.(x-y).\frac{1}{y(x-y)}} = 3[/TEX]