[Toán 8] Chia hết

[pe_chau_hocgioi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cmr:
a. [TEX](n^2 + n + 1)^2 -1[/TEX] chia hết 24 mọi số nguyên n.
b. [TEX] n^3 + 6n^2 + 8n[/TEX] chia hết 48 mọi số chẵn n.
c. [TEX]n^4 - 10n^2 +9[/TEX] chia hết 384 mọi số lẻ n.
2. cmr với mọi số tự nhiên a và n.
a. [TEX]7^n[/TEX] và [TEX]7^n+4[/TEX] có 2 chữ số tận cùng như nhau.
b. [TEX]a[/TEX] và [TEX]a^5[/TEX] có chữ số tận cùng như nhau.
c. [TEX]a^n[/TEX] và [TEX]a^n+4[/TEX] có chữ số tận cùng như nhau. (n > hoặc = 1).
3.
a. cho a là số nguyên tố >3 cmr: [TEX]a^2 - 1[/TEX] chia hết 24.
b. cmr nếu a, b là số nguyên tố >3 thì [TEX]a^2 - b^2[/TEX] chia hết 24.
c. Tìm điều kiện của số tự nhiên a để [TEX]a^4 - 1[/TEX] chia hết 240.

 

[letsmile519]

1. Cmr:
a. [TEX](n^2 + n + 1)^2 -1[/TEX] chia hết 24 mọi số nguyên n.
b. [TEX] n^3 + 6n^2 + 8n[/TEX] chia hết 48 mọi số chẵn n.
c. [TEX]n^4 - 10n^2 +9[/TEX] chia hết 384 mọi số lẻ n.
2. cmr với mọi số tự nhiên a và n.
a. [TEX]7^n[/TEX] và [TEX]7^n+4[/TEX] có 2 chữ số tận cùng như nhau.
b. [TEX]a[/TEX] và [TEX]a^5[/TEX] có chữ số tận cùng như nhau.
c. [TEX]a^n[/TEX] và [TEX]a^n+4[/TEX] có chữ số tận cùng như nhau. (n > hoặc = 1).
3.
a. cho a là số nguyên tố >3 cmr: [TEX]a^2 - 1[/TEX] chia hết 24.
b. cmr nếu a, b là số nguyên tố >3 thì [TEX]a^2 - b^2[/TEX] chia hết 24.
c. Tìm điều kiện của số tự nhiên a để [TEX]a^4 - 1[/TEX] chia hết 240.

a) = [TEX](n^2+n+1-1)(n^2+n+1+1)[/TEX]
= [TEX](n^2+n)(n^2+n+2)[/TEX]
= [TEX]n(n+1)[(n^2-n)-(2n-2)][/TEX]
= [TEX]n(n+1)(n-2)(n-1)[/TEX]
24=2.2.2.3
Mà n (n+1)(n-2) (n-1) là 4 STN liên tiếp và cũng là 4 số nguyên tố cùng nhau
\Rightarrow TEX]n(n+1)(n-2)(n-1)[/TEX] chia hết cho 2;4;3
\Rightarrow [TEX]n(n+1)(n-2)(n-1)[/TEX] chia hết cho 2.4.3=24
\Rightarrow [TEX](n^2 + n + 1)^2 -1[/TEX] chia hết 24 mọi số nguyên n.
b) [TEX] n^3 + 6n^2 + 8n[/TEX]
=[TEX](n^3+2n^2)+(4n^2+8n)[/TEX]
=[TEX]n^2(n+2)+4n(n+2)[/TEX]
=[TEX]n(n+4)(n+2)[/TEX]
48=2.2.2.2.3
trong 3 số chẵn liên tiếp sẽ chia hết cho 3
mà n là số chẵn nên
1 trong 3 số n;n+4;n+2 chia hết cho 4
2 số còn lại sẽ chia hết cho 2
\Rightarrow TEX]n(n+4)(n+2)[/TEX] chia hết cho 2.2.4.3=48
\Rightarrow [TEX] n^3 + 6n^2 + 8n[/TEX] chia hết 48 mọi số chẵn n.
câu c tương tự nhé!

MOD:Lần sau viết bài bạn chú ý, khi nào có công thức toán học thì mới dùng [TEX] ,[/TEX] hoặc $.$ nha, cho đỡ rối mắt

 

[letsmile519]

1. Cmr:
a. [TEX](n^2 + n + 1)^2 -1[/TEX] chia hết 24 mọi số nguyên n.
b. [TEX] n^3 + 6n^2 + 8n[/TEX] chia hết 48 mọi số chẵn n.
c. [TEX]n^4 - 10n^2 +9[/TEX] chia hết 384 mọi số lẻ n.
2. cmr với mọi số tự nhiên a và n.
a. [TEX]7^n[/TEX] và [TEX]7^n+4[/TEX] có 2 chữ số tận cùng như nhau.
b. [TEX]a[/TEX] và [TEX]a^5[/TEX] có chữ số tận cùng như nhau.
c. [TEX]a^n[/TEX] và [TEX]a^n+4[/TEX] có chữ số tận cùng như nhau. (n > hoặc = 1).
3.
a. cho a là số nguyên tố >3 cmr: [TEX]a^2 - 1[/TEX] chia hết 24.
b. cmr nếu a, b là số nguyên tố >3 thì [TEX]a^2 - b^2[/TEX] chia hết 24.
c. Tìm điều kiện của số tự nhiên a để [TEX]a^4 - 1[/TEX] chia hết 240.

Bài 2 nhé:
câu a sai đề VD: n=2 thì [TEX]7^n[/TEX]=49 mà [TEX]7^n+4 [/TEX]= 53
Câu b) xét hiệu của [TEX]a^5-a[/TEX] chia hết cho 10 nên có tân cùng = 0
\Rightarrow [TEX]a[/TEX] và [TEX]a^5[/TEX] có chữ số tận cùng như nhau.

 

[soicon_boy_9x]

Bài 2:

$a)$ Ý của bạn ấy là $7^n$ và $7^{n+4}$ có cùng chữ số tận cùng cơ

Chứng minh câu c) tổng quát luôn

$a^{n+4}-a^n=a^n(a^4-1)=a^n(a-1)(a+1)(a^2+1)$

Dễ chứng minh $a^n(a^2-1)(a^2+1) \vdots 2$

Lại có:

Xét $a=5k \pm 2$

$\rightarrow a^2=25k^2 \pm 20k+4$

$\rightarrow a^2+1=25k^2 \pm 20k +5 \vdots 5$

Xét $a=5k \pm 1$

$\rightarrow a^2=25k^2-\pm 10k+1$

$\rightarrow a^2-1=25k^2 \pm 10k \vdots 5$

Xét $a=5k \rightarrow a^n \vdots 5$

Vậy $a^{n+4}-a^n \vdots 2.5=10 \rightarrow a^{n+4}$ và $a^n$ có cùng
chữ số tận cùng

 

[soicon_boy_9x]

Bài 3:

$a)$ là SNT lớn hơn 3 nên a không chia hết cho 3 và không chia hết cho
2

$\leftrightarrow a=3k \pm 1$

$\rightarrow a^2-1=(3k \pm 1)^2-1=9k^2 \pm 6k \vdots 3(1)$

$\leftrightarrow a=2m+1$

$\rightarrow a^2-1=4m^2+4m=4m(m+1)$

Vì $m(m+1) \vdots 2$ nên $a^2-1 \vdots 8(2)$

Từ $(1)$ và $(2) \rightarrow dpcm$

$b)$ Theo câu a thì $a^2$ và $b^2$ lần lượt chia 3 dư 1 và chia 8 dư 1

$\rightarrow dpcm$

$c)$ $a^4-1=(a^2+1)(a^2-1)$

Để chia hết cho 240 thì $a^4-1$ phải chia hết cho các số:16,5,3

Xét $a=2k$

$\rightarrow a^4-1 \not\vdots 2(loại)$

Xét $a=2k+1$

$\rightarrow a^2+1 \vdots 2$. Đặt $a^2+1=2n$

$a^2=8m+1$(câu a)

$\rightarrow a^2-1=8m$

$\rightarrow a^4-1=16mn \vdots 16$

Vậy để $a^4-1 \vdots 16 $ thì a phải lẻ(1)

Xét $a=5k \rightarrow a^4-1 \not\vdots 5$

Xét $a=5k \pm 1 \rightarrow a^2-1 \vdots 5$

Xét $a=5k \pm 2 \rightarrow a^2+1 \vdots 5$

Vậy để $a^4-1 \vdots 5$ thì $a \not\vdots 5(2)$

Xét $a \vdots 3 \rightarrow a^4-1 \not\vdots 3$

Xét $a \not\vdots 3 \rightarrow a^2=3k+1 \rightarrow a^2-1 \vdots 3(3)$

Vậy a là số không chia hết cho 2,3,5

$a \in \{ 1;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47;49;... \}$