[Toán 8] Các bài toán về chia hết.

[tuananh8]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)tìm k sao cho: [TEX]1^k + 2^k + 3^k + 4^k[/TEX] chia hết cho 5
2)CMR [TEX]\forall[/TEX]số tư nhiên n,[TEX]n\geq 1[/TEX]thì [TEX]16^n-15n-1[/TEX]chia hết cho 225
ai còn bài nào hay về chia hết post lên cho mọi người cung làm đi.
chú ý tên tiêu đề

 

[phuca5gv]

Lời giải bài 1 :
Ta xét hai trường hợp:
* Nếu k lẻ:
[TEX] (1^k + 4^k) + (2^k + 3^k) = (1+4).A + (2+3).B[/TEX] luôn chia hết cho 5.
* Nếu k chẵn:
Đặt k = 2q thì 2 mũ k bằng 4 mũ q luôn đồng dư với 1 mod 5 nếu q chẵn hoặc -1 mod 5 nếu q lẻ.
3 mũ k bằng 9 mũ q đồng dư với 1 mod 5 nếu q chẵn hoặc -1 mod 5 nếu q lẻ............
Thôi đến đây chắc các bạn cũng hiểu được là bài toán có vô số nghiệm là được rồi.

ĐỐi với bài 2 ta dùng phương pháp quy nạp
Thử với n bằng 1 hoặc n bằng 2 thì mệnh đề trên đúng.
Giả sử mệnh đề trên đúng với n bằng k. Ta phải chứng minh mệnh đề trên cũng đúng với n=k+1
Xét hiệu [TEX] (16^(k+1) - 15(k+1) - 1) - ( 16^k - 15k - 1) = 16^k(16-1) - 15 = 15(16^k-1) = 15.(16-1).A = 225.A[/TEX] luôn chia hết cho 225. Mà [TEX] 16^k - 15k - 1[/TEX] chia hết cho 225 nên [TEX] 16^(k+1) - 15(k+1) - 1[/TEX] cũng chia hết cho 225 (đpcm)
Vậy nên theo nguyên lí quy nạp thì mệnh đề trên đúng với mọi số tự nhiên n lớn hơn hoặc bằng 1.

 

[tuananh8]

Lời giải bài 1 :
Ta xét hai trường hợp:
* Nếu k lẻ:
[TEX] (1^k + 4^k) + (2^k + 3^k) = (1+4).A + (2+3).B[/TEX] luôn chia hết cho 5.
* Nếu k chẵn:
Đặt k = 2q thì 2 mũ k bằng 4 mũ q luôn đồng dư với 1 mod 5 nếu q chẵn hoặc -1 mod 5 nếu q lẻ.
3 mũ k bằng 9 mũ q đồng dư với 1 mod 5 nếu q chẵn hoặc -1 mod 5 nếu q lẻ............
Thôi đến đây chắc các bạn cũng hiểu được là bài toán có vô số nghiệm là được rồi.

chính xác hơn là k có dạng:4n+1;4n+2;4n+3 .@-)

 

[pnh_hpn]

các bạn giải giúp tôi bài toán này với : cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì [TEX] p^2-1[/TEX] chia hết cho 24.thank!
chú ý latex

 

[janisle]

các bạn giúp mình nhaz
Giả sử a,b,c là các số nguyên dương và a + b + c chia hết cho 30. CM: [TEX]a^5 + b^5 + c^5[/TEX] chia hết cho 30

Giup minh nhaz!
Cho a,b > 0. CM: [TEX]2(a^5 + b^5) \geq a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4[/TEX]

 

[son_9f_ltv]

các bạn giúp mình nhaz
Giả sử a,b,c là các số nguyên dương và a + b + c chia hết cho 30. CM: A=a^5 + b^5 + c^5 chia hết cho 30

ta cần CM A chia hết cho 2,3,5
từ Đk a+b+c chia hết cho 30 ta suy ra đc A chia hết cho 2

h cần CM A chia hết cho 3,5

mà a+b+c chia hết cho 3,5

\Rightarrow

 

[trydan]

Để chứng minh bất đẳng thức này ta xét hiệu 2 vế:

Bất đẳng thức (2) đúng với mọi a, b > 0 nên bất đẳng thức (1) cũng đúng với mọi a,b > 0 (đpcm)



______________________________________________________________
Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự.

 

[quan8d]

các bạn giải giúp tôi bài toán này với : cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì [tex] p^2-1[tex] chia hết cho 24.thank![/QUOTE] [FONT=Times New Roman][SIZE=4][COLOR=blue]Số nguyên tố lớn hơn 3 thì có dạng [tex]6k \pm \ 1 ( k \in N*)[/tex][/COLOR][/SIZE][/FONT]
\Rightarrow [tex]p^2-1 = 36k^2 \pm \ 12k = 12k(3k\pm \ 1)[/tex]
+ k chẵn thì bài toán xong
+ k lẻ \Rightarrow [tex]3k\pm \ 1[/tex] chẵn \Rightarrow [tex]12k(3k\pm \ 1) \vdots 24[/tex]

 

[816554]

\

1)tìm k sao cho: [TEX]1^k + 2^k + 3^k + 4^k[/TEX] chia hết cho 5
2)CMR [TEX]\forall[/TEX]số tư nhiên n,[TEX]n\geq 1[/TEX]thì [TEX]16^n-15n-1[/TEX]chia hết cho 225
ai còn bài nào hay về chia hết post lên cho mọi người cung làm đi.
chú ý tên tiêu đề

theo mình nghĩ thì bài 2 sử dụng quy nạp là ra

Số nguyên tố lớn hơn 3 thì có dạng [tex]6k \pm \ 1 ( k \in N*)[/tex]
\Rightarrow [tex]p^2-1 = 36k^2 \pm \ 12k = 12k(3k\pm \ 1)[/tex]
+ k chẵn thì bài toán xong
+ k lẻ \Rightarrow [tex]3k\pm \ 1[/tex] chẵn \Rightarrow [tex]12k(3k\pm \ 1) \vdots 24[/tex]

taị sao số nguyên tố lớn hơn 3 lại có dạng 6k ?

 

[quan8d]

\
Tại sao số nguyên tố lớn hơn 3 lại có dạng 6k ?

Các số khi chia cho 6 thì có số dư là [tex]0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5[/tex] nên có dạng là[tex] 6k , 6k+1 , 6k+2 , 6k+3 , 6k+4 , 6k+5 [/tex]. Gọi [tex]m[/tex] là số nguyên tố lớn hơn [tex]3[/tex] thì [tex]m[/tex] không chia hết cho[tex] 2[/tex] và [tex]3[/tex] nên[tex] m[/tex] ko có dạng [tex]6k , 6k+2 , 6k+3 , 6k+4 \Rightarrow m[/tex] có dạng [tex]6k+1[/tex] và [tex]6k+5[/tex] hay [tex]6k-1[/tex].

 

[tell_me_goobye]

bài này mới thực sự là chia hết

CMR tồn tại vô số tự nhiên n sao cho 4n^2+1 chia hết cho 5 và chia hết cho 13