[Toán 8] bồi dưỡng

[pe_chau_hocgioi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

2.Chứng minh rằng nếu (a^2−bc)(b−abc) = (b^2−ac)(a−abc) và các số a;b;c;a−b khác 0 thì 1/a + 1/b + 1/c = a+b+c
3. Cho a+b+c = 0, x+y+z = 0, a/x + b/y + z/c = 0. Chứng minh rằng ax^2 + by^2 + cz^2 = 0
Mọi người giải chi tiết giùm minh nha

 

[soicon_boy_9x]

Câu 1:

[laTEX]-a^3bc +a^2b -b^2c +ab^2c^2 = -b^3ac +b^2a -a^2c +ba^2c^2 \\ \\ -a^3bc +b^3ac + a^2b-b^2a -b^2c+a^2c +ab^2c^2-ba^2c^2 =0 \\ \\ abc(b^2-a^2) + ab(a-b) +c(a^2-b^2) - abc^2(a-b) =0 \\ \\ -abc(b+a) + ab + c(a+b) -abc^2= 0 \\ \\ ab+bc+ac = a^2bc+b^2ac+c^2ba[/laTEX]

chia cả 2 vế cho abc

[laTEX]\frac{1}{a}+ \frac{1}{b} +\frac{1}{c} = a+b+c \Rightarrow dpcm[/laTEX]

Câu 2: Thiếu điều kiện x,y,z khác 0

Do $x+y+z=0$ nên ta có: $ x=-(y+z) \\ y=-(x+z) \\ z=-(x+z)$

$\leftrightarrow$ $x^2=(y+z)^2 \\ y^2=(x+z)^2 \\ z^2=(x+z)^2$

Thay vào ta được:

$ax^2+by^2+cz^2=a(y+z)^2+b(x+z)^2+c(x+y)^2=a(y^2+2yz+z^2)+b(x^2+2xz+z^2)+c(x^2+2xy+z^2)$

$=ay^2+2ayz+az^2+bx^2+2bxz+bz^2+cx^2+2cxy+cy^2=x^2(b+c)+y^2(a+c)+z^2(a+b)+2(ayz+bxz+cxy)$
(*)

Lại có: $a+b+c=0$ nên ta có: $b+c=-a \\ a+c=-b \\ a+b=-c(1)$

$\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=0 \leftrightarrow
\dfrac{ayz+bxz+cxy}{xyz}=0 \leftrightarrow ayz+bxz+cxy=0(2)$

Thay $(1),(2)$ và (*) ta được:

$ax^2 + by^2 +
cz^2=x^2(b+c)+y^2(a+c)+z^2(a+b)+2(ayz+bxz+cxy)=-ax^2-
by^2-cz^2+2.0=-ax^2-by^2-cz^2$

$\leftrightarrow ax^2 + by^2 + cz^2=-ax^2-by^2-cz^2$

2 số đối nhau bằng nhau nên 2 số đó bằng 0

$\rightarrow ax^2 + by^2 + cz^2=0(dpcm)$