[Toán 8] Biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỉ

[seohuyn_n01]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

*Lí thuyết:
I. Khai thác đẳng thức:
[TEX]a^3+b^3+c^3[/TEX] - 3abc = (a+b+c)([TEX]a^2+b^2+c^2[/TEX] - ab - ac - bc)

VD1: Cho [TEX]x_0,y_0[/TEX] là nghiệm của phương trình
[TEX]x^3+y^3+1=3xy[/TEX] (1)
Tính giá trị biểu thức: [TEX]P=(1+{1}{x_0})(1+y_0)(1+{x_0}{y_0})[/TEX]

Giải:

Do [TEX]x_0, y_0[/TEX] là nghiệm của pt (1)
nên [TEX]x_0^3+y_0^3+1-3x_0y_0[/TEX]=0

\Leftrightarrow [TEX](x_0+y_0)^3 +1 - 3x_0y_0(x_0+y_0)-3x_0y_0[/TEX]=0

\Leftrightarrow [TEX]\frac{1}2}[/TEX][TEX](x_0+y_0+1)[(y_0-x_0)^2+(x_0-1)^2+(y_0-1)^2][/TEX]=0

\Leftrightarrow [TEX]\left[\begin{x_0+y_0+1=0}\\{x_0=y_0=1} [/TEX]

+)[TEX]x_0+y_0+1=0[/TEX] \Rightarrow [tex]\left{\begin{x_0+y_0=1}\\{x_0+1=-y_0}\\{y_0+1=-x_0} [/tex]
Thay vào P ta có:
P=[TEX]\frac{1+x_0}{x_0}.\frac{1+y_0}{1}.\frac{x_0+y_0}{y_0}[/TEX]
= -1
Vậy P=-1

BT: Cho [TEX]\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{z+x}[/TEX]=0
Tính A=[TEX]\frac{(x+y)(y+z)}{(x+z)^2}+\frac{(x+z)(y+z)}{(x+y)^2}+\frac{(x+z)(y+x)}{(y+z)^2}[/TEX]

 

[seohuyn_n01]

II. Khai thác đẳng thức: [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]=[TEX]\frac{1}{a+b+c}[/TEX] (1)

Chứng minh:

Từ (1) suy ra: [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+(\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}[/TEX]=0

\Rightarrow [TEX]\frac{a+b}{ab} + \frac{a+b}{c(a+b+c)}[/TEX]=0

\Rightarrow (a+b)(ca+cb+[TEX]c^2[/TEX]+ab)=0

\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a) = 0

\Rightarrow [tex]\left[\begin{a+b=0}\\{b+c = 0}\\{c+a=0} [/tex] (CM xong)

VD: Cho 3 số a,b,c thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
a+b+c = 1 và [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]=1
Tính A = [TEX]a^ 2009+ b^ 2009 + c^ 2009[/TEX]

Giải:

Từ giả thiết suy ra [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}[/TEX]

\Rightarrow [tex]\left{\begin{a+b=0}\\{b+c = 0}\\{c+a=0} [/tex] ( phải chứng minh cụ thể)

+) a+b=0 \Rightarrow c=1 và a=-b
\Rightarrow A=1
Tương tự với b+c=0 và c+a=0
ta cũng có A=1

 

[seohuyn_n01]

III. ab + bc + ca = 1 (*)


[tex]\left{\begin{1+a^2=ab+bc+ca+a^2=(a+b)(a+c)}\\{1+b^2=(b+c)(b+a) }\\{1+c^2=(c+a)(c+b)} [/tex]

Từ (*) cũng suy ra được

[TEX]a^2+2bc-1= a^2 + 2bc - ab- bc - ca = a(a-b) - c(a -b) = (a-b)(a-c)[/TEX]
Tương tự ta cũng có

[TEX]b^2+2ca-1=(b-a)(b-c)[/TEX]

[TEX]c^2+2ab-1=(c-a)(c-b)[/TEX]

P/S: Bài tập áp dụng và một số dạng biến đổi khác hôm sau có thời gian mình sẽ post tiếp để mọi người cùng làm nha!!

 

[seohuyn_n01]

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tìm a,b thỏa mãn [TEX]a^2+\frac{1}{b^2}[/TEX] = [TEX]a^3+\frac{1}{b^3}[/TEX] =[TEX]a^4+\frac{1}{b^4}[/TEX]

 

[seohuyn_n01]

Bài 2: Cho
[TEX] x+y+z=2 \\ x^2+y^2+z^2=2[/TEX]
Tính giá trị biểu thức
A=[TEX]\frac{(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)}{(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2}[/TEX]

 

[haibara4869]

Bài 2: Cho
[TEX] x+y+z=2 \\ x^2+y^2+z^2=2[/TEX]
Tính giá trị biểu thức
A=[TEX]\frac{(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)}{(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2}[/TEX]

dễ mà chỉ cần biến đổi
[TEX](x + y + z) = 2^2 [/Tex]
\Leftrightarrow [TEX]x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=4[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]xy+yz+zx=1[/TEX]
đến đây tự làm nha>-

 

[seohuyn_n01]

Ai làm tiếp mấy bài kia đi
Post lên không ai giải cũng bằng thừa à?