[Toán 8] BĐT

[thewinter]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho[TEX] x,y \geq 1[/TEX] C/m [TEX]\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \geq \frac{2}{1+xy}[/TEX]

 

[phamhuy20011801]

[TEX]\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \geq \frac{2}{1+xy} (1)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy})+(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}) \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{x(y-x)}{(1+x^2)(1+xy)}+\frac{y(x-y)}{(1+y^2)(1+xy)} \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{(y-x)^2(xy-1)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)} \geq 0 (2)[/TEX]
Vì [TEX]x,y \geq 1 \Rightarrow xy \geq 1 \Rightarrow xy - 1 \geq 0[/TEX]
Vậy, bất đẳng thức (2) luôn đúng, tức là (1) luôn đúng
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow x=yv hoặc xy=1