[Toán 8]BDT

[ronaldover7]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

$ a^2 + b^2 + c^2 + 2abc =1 $
CMR: $ a^2 + b^2 + c^2 $\geq $ 4(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 ) $

 

[thinhrost1]

$a,b,c \in R^+$ nhé cậu

$a^2+b^2+c^2+2abc=1$

Đặt $a=\dfrac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}},b=\dfrac{y}{\sqrt{(x+y)(y+z)}}, c=\dfrac{z}{\sqrt{(x+y)(y+z)}}$

Thì BDT cần chứng minh có thể được viết lại:

$\sum \dfrac{x^2}{(x+y)(x+z)} \ge 4\sum \dfrac{x^2y^2}{(x+y)^2(x+z)(y+z)}$

Thật vậy:

$\sum \dfrac{x^2}{(x+y)(x+z)}=\sum \dfrac{xy}{(y+z)(z+x)} = \sum \dfrac{xy(x+y)^2}{(x+y)^2(x+z)(y+z)} \ge \sum \dfrac{4x^2y^2}{(x+y)^2(y+z)(x+z)}=\sum \dfrac{xy(4xy)}{(x+y)^2(y+z)(x+z)}=4\sum \dfrac{x^2y^2}{(x+y)^2(x+z)(y+z)}$

 

[thinhrost1]

$a,b,c \in R^+$ nhé cậu

$a^2+b^2+c^2+2abc=1$

Đặt $a=\dfrac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}},b=\dfrac{y}{\sqrt{(x+y)(y+z)}}, c=\dfrac{z}{\sqrt{(x+y)(y+z)}}$

Thì BDT cần chứng minh có thể được viết lại:

$\sum \dfrac{x^2}{(x+y)(x+z)} \ge 4\sum \dfrac{x^2y^2}{(x+y)^2(x+z)(y+z)}$

Thật vậy:

$\sum \dfrac{x^2}{(x+y)(x+z)}=\sum \dfrac{ xy }{ (y+z) (z+x)} = \sum \dfrac{xy(x+y)^2}{(x+y)^2(x+z)(y+z)} \ge \sum \dfrac{4x^2y^2}{(x+y)^2(y+z)(x+z)}=\sum \dfrac{xy(4xy)}{(x+y)^2(y+z)(x+z)}=4\sum \dfrac{x^2y^2}{(x+y)^2(x+z)(y+z)}$


Cái bài của câu thì cách làm như trên mạng thì t thấy nhưng cái dấu ∑ t k hỉu nên mún hỏi cách làm mới

Ặc không giống đâu cậu so lại kỹ nhá, xài sigma cho nhanh thôi @@

BDT được viết lại:

$ \dfrac{x^2}{(x+y)(x+z)}+ \dfrac{y^2}{(x+y)(y+z)}+ \dfrac{z^2}{(z+x)(z+y)}\ge \dfrac{4x^2y^2}{(x+y)^2(x+z)(y+z)}+\dfrac{4y^2z^2}{(y+z)^2(x+y)(y+z)}+\dfrac{4x^2z^2}{(x+z)^2(x+y)(y+z)}$

Luôn đúng với mọi $x,y,z >0$, Thật vậy:

$\dfrac{x^2}{(x+y)(x+z)}+ \dfrac{y^2}{(x+y)(y+z)}+ \dfrac{z^2}{(z+x)(z+y)} \ge \dfrac{xy}{(z+x)(z+y)}+ \dfrac{xz}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{yz}{(x+y)(x+z)}\ge \dfrac{xy(x+y)^2}{(x+y)^2(z+x)(z+y)}+\dfrac{xz(x+z)^2}{(x+z)^2(x+y)(x+z)}+\dfrac{yz(y+z)^2}{(y+z)^2(x+y)(x+z)}\ge \dfrac{4x^2y^2}{(x+y)^2(x+z)(y+z)}+\dfrac{4y^2z^2} {(y+z)^2(x+y)(y+z)}+\dfrac{4x^2z^2}{(x+z)^2(x+y)(y +z)} $

 

[su10112000a]

Cái dấu đó là xích mà nhá nó là tổng hoán vị thôi

một số ví dụ đễ giúp bác dễ hiểu=)):
cho 3 số $a, b, c \ge 0$ thì
$\sum a \ge 0$ nghĩa là $a+b+c \ge 0$
cho 4 số $a, b, c, d > 0$ thì
$\sum \dfrac{a}{b} \ge 2$ nghĩa là $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{d} + \dfrac{d}{a} \ge 2$
nó là kí hiệu đễ viế cho nhanh mà hình như lớp 10 mới học=))
Ờ tks chú

 

[demon311]

Dấu bằng xảy ra khi nào vậy Thịnh?
..................
+++++++++++
=========================

 

[ronaldover7]

Ặc không giống đâu cậu so lại kỹ nhá, xài sigma cho nhanh thôi @@

BDT được viết lại:

$ \dfrac{x^2}{(x+y)(x+z)}+ \dfrac{y^2}{(x+y)(y+z)}+ \dfrac{z^2}{(z+x)(z+y)}\ge \dfrac{4x^2y^2}{(x+y)^2(x+z)(y+z)}+\dfrac{4y^2z^2}{(y+z)^2(x+y)(y+z)}+\dfrac{4x^2z^2}{(x+z)^2(x+y)(y+z)}$

Luôn đúng với mọi $x,y,z >0$, Thật vậy:

$\dfrac{x^2}{(x+y)(x+z)}+ \dfrac{y^2}{(x+y)(y+z)}+ \dfrac{z^2}{(z+x)(z+y)} \ge \dfrac{xy}{(z+x)(z+y)}+ \dfrac{xz}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{yz}{(x+y)(x+z)}\ge \dfrac{xy(x+y)^2}{(x+y)^2(z+x)(z+y)}+\dfrac{xz(x+z)^2}{(x+z)^2(x+y)(x+z)}+\dfrac{yz(y+z)^2}{(y+z)^2(x+y)(x+z)}\ge \dfrac{4x^2y^2}{(x+y)^2(x+z)(y+z)}+\dfrac{4y^2z^2} {(y+z)^2(x+y)(y+z)}+\dfrac{4x^2z^2}{(x+z)^2(x+y)(y +z)} $

Cho t hỏi sao cậu bik cách đặt ẩn vậy mình ngu phần đó lắm!

 

[demon311]

Nếu không có R+ thì $a=b=c=-1$
Nhưng dấu bằng không xảy ra

p/s: chữ kí của ronaldove có cái link
Mình bấm xong còn cười với cái màn hình
kkkkkkkkkkkkk
E khoái a rùi đó_____________kakak,ngồi coi ngồi cừi!

 

[thinhrost1]

Dấu bằng xảy ra khi nào vậy Thịnh?
..................
+++++++++++
=========================

$a=b=c=\dfrac{1}{2}$ nhé anh ! phải nhìn giả thiết chứ

Cho t hỏi sao cậu bik cách đặt ẩn vậy mình ngu phần đó lắm!

Một số bài cũng cần đặt ẩn phụ để giải cho dễ nếu không đặt làm vẫn ra đợi tí cậu xem cách dưới nhé

Nếu không có R+ thì $a=b=c=-1$
Nhưng dấu bằng không xảy ra

p/s: chữ kí của ronaldove có cái link
Mình bấm xong còn cười với cái màn hình
kkkkkkkkkkkkk
E khoái a rùi đó_____________kakak,ngồi coi ngồi cừi!

Anh à em đã nói đề thuộc $R^+$ rồi mà

Còn thắc mắc gì hỏi tiếp nhá !