[Toán 8]BDT

[ronaldover7]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CM: $\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}$ \geq $\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{2a+b+c}$ \forall a,b,c \geq 0

 

[congchuaanhsang]

$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}$ \geq $\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{2a+b+c}$ \forall a,b,c \geq 0

Áp dụng hệ quả của Cauchy $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ \geq $\dfrac{4}{a+b}$ với a,b dương

$\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{a+b+2c}$ \geq $\dfrac{2}{a+2b+c}$

$\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{2a+b+c}$ \geq $\dfrac{2}{a+b+2c}$

$\dfrac{1}{c+3a}+\dfrac{1}{a+2b+c}$ \geq $\dfrac{2}{2a+b+c}$

Cộng lại ta có: $VT+VP$ \geq $2VP$

\Leftrightarrow VT \geq VP

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow $a=b=c$